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弗羅比尼烏斯內積

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數學中,弗羅比尼烏斯內積(英語:Frobenius inner product)是一種基於兩個矩陣的二元運算,結果是一個數值。它常常被記為。這個運算是一個將矩陣視為向量的逐元素內積。參與運算的兩個矩陣必須有相同的維度、行數和列數,但不局限於方陣

定義

給定兩個n×m矩陣 AB

弗羅比尼烏斯內積定義為如下的矩陣元素求和

其中上劃線表示複數和複矩陣的共軛操作。若將定義詳細寫出,則有

此計算與點積十分相似,所以是一個內積的範例。

性質

弗羅比尼烏斯內積是半雙線性形式。給定複矩陣A, B, C, D, 以及複數ab,我們有

並且,交換複矩陣的次序所得到的是原來結果的共軛矩陣:

對於相同的矩陣,有

樣例

實矩陣

給定實矩陣:

則:

復矩陣

給定復矩陣

那麼它們的共軛 (非轉置) 矩陣為

因此,

但注意

AB與其本身的弗羅比尼烏斯內積分別為

弗羅比尼烏斯範數

從弗羅比尼烏斯內積我們可以誘導出弗羅比尼烏斯範數

參考資料

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