弱微分

在數學中，弱微分（Weak Derivative）是一個函數的微分（強微分）概念的推廣，它可以作用於那些勒貝格可積（Lebesgue Integrable）的函數，而不必預設函數的可微性（事實上大部分可以弱微分的函數並不可微）。一個典型的勒貝格可積函數的空間是$L^{1}([a,b])$。在分佈中，可以定義一個更一般的微分概念。

定義

令$u$是一個在$L^{1}([q,p])\$中的勒貝格可積的函數，稱$v\in L^{1}([q,p])$是$u$的一個弱微分，如果

$\int _{q}^{p}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{q}^{p}v(t)\varphi (t)dt$

其中$\varphi$是任意一個連續可微的函數，並且滿足$\varphi (p)=\varphi (q)=0$。

推廣到$n$維的情形，如果$u$和$v$是$L_{loc}^{1}(U)$中的函數（在某個開集$U\subset \mathbb {R} ^{n}$中局部可積），並且$\alpha$是一個多重指標，那麼$v$稱為$u$的$\alpha$次弱微分，如果

$\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi$

其中$\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$是一個任意給定的函數，即給定的支撐集含於$U$的無窮可微的函數。

如果$u$的弱微分存在，一般被記為$D^{\alpha }u$。可以證明，一個函數的弱微分在測度意義是唯一的，即如果有兩個不同的弱微分，其僅可能在一個零測集上存在差異。

例子

函數 $u:[-1,1]\to [0,1]:t\mapsto u(t)=|t|$ 在 $t=0$ 並不可微，但具有以下被稱為符號函數的弱微分：

$v:[-1,1]\to [-1,1]:t\mapsto v(t)={\begin{cases}1\quad &{\textrm {if}}\,t>0\\0\quad &{\textrm {if}}\,t=0\\-1\quad &{\textrm {if}}\,t<0\\\end{cases}}$

性質

如果兩個函數是相同函數的弱導數，那麼它們除了在一個勒貝格測度為零的集合上以外相等，也就是說，它們幾乎處處相等。如果我們考慮函數的等價類，其中兩個函數是等價的如果它們幾乎處處相等，那麼弱導數是唯一的。

此外，如果u是可微的，那麼它的弱導數與導數相同。因此弱導數是導數的推廣。更進一步，兩個函數的和與積的導數公式對弱導數也是成立的。

參見

• 次導數

參考文獻

• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Berlin: Springer. 2001: 149. ISBN 3-540-41160-7. 
• Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 1998: 242. ISBN 0-8218-0772-2. 
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. New York: Springer. 2003: 53. ISBN 0-387-95449-X.