映射錐

映射錐示意圖

在數學，特別是同倫論中，映射錐（mapping cone）是一個拓撲構造 $C_{f}$。它也稱為同倫上纖維（homotopy cofiber），也記成 $Cf.$

定義

給定映射 $f\colon X\to Y$，映射錐 $C_{f}$ 定義為 $(X\times I)\sqcup Y$ 關於等價關係 $(x,0)\sim (x',0)\,$, $(x,1)\sim f(x)\,$ 的商拓撲空間。這裏 $I$ 表示帶標準拓撲的單位區間 [0,1]。注意有些人（比如喬·彼得·梅）使用相反的約定，交換 0 與 1 的地位。

以圓周為例

如果 $X$ 是圓周 S¹，C_f 可以視為 Y 與圓盤 D² 的不交並將 D² 的邊界上的點 x 與 Y 中的點 f(x) 等價起來得到的商空間。

比如考慮當 Y 是圓盤 D² 的情形，映射

f: S¹ → Y = D²

是 S¹ 作為 D² 邊界的標準包含。則映射錐 C_f 同胚於把兩個圓盤連接起來，拓撲上就是球面 S² 也是通常的帶底圓錐面。

雙映射柱

映射錐是雙映射柱的特例。雙映射柱是一個圓柱的一個底與空間 X₁ 通過映射

f₁: S¹ → X₁

黏貼，而另一個底與空間 X₂ 通過映射

f₂: S¹ → X₂.

黏貼。映射錐是雙映射錐（也稱為拓撲推出）的退化情形，其中一個空間是一個單點。

應用

CW-復形

CW-復形經常通過映射錐添加一個胞腔。

對基本群的影響

給定空間 X 與環路

$\alpha \colon S^{1}\to X$

代表了 X 的基本群中的一個元素，我們可構造一個映射錐 C_α。其效果是使得環路 α 在 C_α 中可縮，從而 α 在 C_α 的基本群中的等價類是單位元素。

給一個有生成子與關係呈示的群，我們得到了一個具有那個基本群的 2-復形。

空間偶的同調

映射錐將空間偶的同調變成商空間的簡約同調：

如果 E 是一個同調理論，$i\colon A\to X$ 是一個包含，則 $E_{*}(X,A)=E_{*}(X/A,*)={\tilde {E}}_{*}(X/A)$，對映射錐使用切除定理可得到。

另見

• 映射錐 (同調代數)