狀態轉移矩陣(state-transition matrix)是控制理論中的矩陣,是時間
和初始時間
的函數,可以將時間
的狀態向量
和此矩陣相乘,得到時間
時的狀態向量
。狀態轉移矩陣可以用來找線性動態系統的通解。
線性系統的解
狀態轉移矩陣用來找以下形式線性系統在狀態空間下的解:
,
其中
為系統狀態,
為輸入信號,而
為時間
時的初始條件。利用狀態轉移矩陣
,其解如下[1][2]:
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9bd2c269c15d814272c465b1f202e9750e8f35)
第一項為零輸入響應(zero-input response),第二項為零狀態響應(zero-state response)。
Peano-Baker級數解
更廣義的狀態轉移矩陣可以用Peano-Baker級數解求得
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93bde999bf698b2ce6a32857aed765eed590ca5)
其中
為單位矩陣。此矩陣均勻收斂到一個存在而且唯一的解,而且是絕對收斂[2]。
其他性質
狀態轉移矩陣
可以表示為下式
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6379eb52a9a931c2299751230680d591470f9a41)
其中
為基礎矩陣,滿足下式
![{\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a2b0183785c40b9bfd401415f7a8fa43c08826)
狀態轉移矩陣是
的矩陣,是會映射到本身的線性映射。若
,再給定任意時間
下的狀態
,另一個時間
的狀態可由以下映射求得
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0225879caf77779a0a4134bcae6faab5787ab7)
狀態轉移矩陣恆滿足以下的關係:
and
對於所有的
,其中
為單位矩陣[3]。
也有以下的性質:
1. |
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2. |
|
3. |
|
4. |
|
若系統是時不變系統,可以將
定義為
![{\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714cfd81a4f4dc9387841c4cf73203cf24b5da09)
在時變系統的例子中,可能有許多不同的函數滿足上述條件,而解和系統的結構有關。在分析時變系統的解之前,需要先確定其狀態轉移矩陣。
註解
參考資料
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