量子場論中,狄拉克旋量(英語:Dirac spinor)為一雙旋量,出現在自由粒子狄拉克方程式的平面波解中:
;
自由粒子的狄拉克方程式為:
![{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace5eabbf2cd6ae83b7b54b1703e1b16a2fe3de1)
其中(採用自然單位制
)
為相對論性自旋½場,
是狄拉克旋量,與波向量為
的平面波有關,
,
為平面波的四維波向量,而
為任意的,
為一給定慣性系中的四維空間座標。
正能量解所對應的狄拉克旋量為
![{\displaystyle \omega _{\vec {p}}={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}{\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b89a05571294ce126c4cd2852d6edd0ab75ed17)
其中
為任意的雙旋量,
為鮑利矩陣,
為正根號![{\displaystyle \scriptstyle E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4cf16c012f9e8a3974ae3d5e58065ca45a012ec)
源自狄拉克方程式的推導
狄拉克方程式的形式為:
![{\displaystyle \left(-i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3035ea8a0ed4a38234c45842581f7f9402c258)
推導出4-旋量
前,可先注意矩陣α與β的值:
![{\displaystyle {\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf376e26a8a36ac0c872b87f5584fb47dae923aa)
此二為4×4矩陣,與狄拉克矩陣有關。其中0與I為2×2矩陣。
下一步則是找出下式的解:
,
此處可將ω分為兩個2-旋量:
.
結果
將上方資料帶入狄拉克方程式,可得
.
此矩陣方程式實際上是為兩條聯立方程式:
![{\displaystyle \left(E-m\right)\phi =\left({\vec {\sigma }}{\vec {p}}\right)\chi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb519cdaf82d9c61b23b523c7d683fab3396cea)
![{\displaystyle \left(E+m\right)\chi =\left({\vec {\sigma }}{\vec {p}}\right)\phi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2aa826de3432802b6624240f52bd1b0d64d73a0)
對第二條方程式求
的解,可得
.
對第一條方程式求
的解,可得
.
此解可展示粒子與反粒子的關係。
細節
2-旋量
2-旋量最常見的定義為:
![{\displaystyle \phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad \quad \phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7db96b6e45eb7a68824011d9966ae93d113200)
與
![{\displaystyle \chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\quad \quad \chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b6de2ac1e56c45b9dfb9dffcb7149d254271c0)
鮑利矩陣
鮑利矩陣
![{\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae25db3769278fb5f1b80cc35371941bb1d06e99)
利用前述知識可計算出:
![{\displaystyle {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278f2868cb26fbaba558866ab45b92d5f06eaa53)
4-旋量
粒子
粒子具有正能量。選擇4-旋量ω的歸一化使得
。這些旋量標記為u:
![{\displaystyle u({\vec {p}},s)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca5563a603b9b183de0fae42f333b26c3baef2a)
其中s = 1或2(自旋向上或向下)。
明確地寫,其為
![{\displaystyle u({\vec {p}},1)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}1\\0\\{\frac {p_{3}}{E+m}}\\{\frac {p_{1}+ip_{2}}{E+m}}\end{bmatrix}}\quad \mathrm {and} \quad u({\vec {p}},2)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}0\\1\\{\frac {p_{1}-ip_{2}}{E+m}}\\{\frac {-p_{3}}{E+m}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e5667c0cb234a7b0d5adc7b21503a2a85653cd)
反粒子
具有「正」能量
的反粒子可視為具有「負」能量而逆着時間行進的粒子;因此,將粒子案例的
與
增加一負號可得到反粒子的結果:
![{\displaystyle v({\vec {p}},s)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3decb6e41325f1d3478c04ddfca9179c18a3f88)
在這裏我們選擇了
解。明確地寫,其為
![{\displaystyle v({\vec {p}},1)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}{\frac {p_{1}-ip_{2}}{E+m}}\\{\frac {-p_{3}}{E+m}}\\0\\1\end{bmatrix}}\quad \mathrm {and} \quad v({\vec {p}},2)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}{\frac {p_{3}}{E+m}}\\{\frac {p_{1}+ip_{2}}{E+m}}\\1\\0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c9f40163581e6acbae182f830298e5516c25ae)
相關條目
參考文獻