在流體力學中,瑞利問題 (Rayleigh problem )或斯托克斯第一問題 (Stokes first problem ),得名於瑞利男爵 與喬治·斯托克斯 ,是一個由無限長平板從靜止開始運動所產生的流體流動問題。這被認為是具有納維-斯托克斯方程式 精確解的最簡單的非穩定問題之一。基思·斯圖爾特森 研究了由半無限平板運動所產生的現象 。[ 1]
考慮一個對初始靜止的無限大流域來說位於
y
=
0
{\displaystyle y=0}
的無限長平板突然以定速度
U
{\displaystyle U}
往
x
{\displaystyle x}
方向移動,不可壓縮納維-斯托克斯方程式 可簡化為
∂
u
∂
t
=
ν
∂
2
u
∂
y
2
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}
其中
ν
{\displaystyle \nu }
是黏度 。板與流體接觸面的初始條件與不滑移條件 為
u
(
y
,
0
)
=
0
,
u
(
0
,
t
>
0
)
=
U
,
u
(
∞
,
t
>
0
)
=
0
,
{\displaystyle u(y,0)=0,\quad u(0,t>0)=U,\quad u(\infty ,t>0)=0,}
最後一個條件是由於無限遠處的流體無法被
y
=
0
{\displaystyle y=0}
的運動所影響。流體的流動只由平板移動所導致,此處並沒有外加的壓力梯度。
該問題類似於一維的熱傳導問題,因此這裏可以引入相似的變量
η
=
y
ν
t
,
f
(
η
)
=
u
U
{\displaystyle \eta ={\frac {y}{\sqrt {\nu t}}},\quad f(\eta )={\frac {u}{U}}}
將它們代入上述的偏微分方程,可以簡化為常微分方程
f
″
+
1
2
η
f
′
=
0
{\displaystyle f''+{\frac {1}{2}}\eta f'=0}
並具有邊界條件
f
(
0
)
=
1
,
f
(
∞
)
=
0
{\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0}
上述問題的解可被寫成含互補誤差函數 的形式
u
=
U
e
r
f
c
(
y
4
ν
t
)
{\displaystyle u=U\mathrm {erfc} \left({\frac {y}{\sqrt {4\nu t}}}\right)}
單位面積施加在平板上的力為
F
=
μ
(
∂
u
∂
y
)
y
=
0
=
−
ρ
ν
U
2
π
t
{\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}=-\rho {\sqrt {\frac {\nu U^{2}}{\pi t}}}}
任意平板運動
除了用上述的階躍邊界條件,平板的速度也可以是時間的任意函數
U
=
f
(
t
)
{\displaystyle U=f(t)}
。方程式的解可以寫為[ 5]
u
(
y
,
t
)
=
∫
0
t
f
(
τ
)
2
π
ν
y
(
t
−
τ
)
3
/
2
e
−
y
2
4
ν
(
t
−
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle u(y,t)=\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )}{2{\sqrt {\pi \nu }}}}{\frac {y}{(t-\tau )^{3/2}}}e^{-{\frac {y^{2}}{4\nu (t-\tau )}}}d\tau .}
圓柱體的瑞利問題
旋轉的圓柱
考慮一個半徑為
a
{\displaystyle a}
的無限長圓柱體於時間
t
=
0
{\displaystyle t=0}
時開始以角速度
Ω
{\displaystyle \Omega }
旋轉,則
θ
{\displaystyle \theta }
方向的速度由下式給出
v
θ
=
a
Ω
2
π
i
∫
−
i
∞
i
∞
K
1
(
r
s
/
ν
)
K
1
(
a
s
/
ν
)
e
s
t
d
s
s
{\displaystyle v_{\theta }={\frac {a\Omega }{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{1}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}}
其中
K
1
{\displaystyle K_{1}}
是第二類修正貝索函數。當
t
→
∞
{\displaystyle t\rightarrow \infty }
,方程式的解趨近於剛體渦旋。單位面積施加於圓柱體的力為
F
=
μ
(
∂
v
θ
∂
r
−
v
θ
r
)
r
=
a
=
ρ
a
2
Ω
t
e
−
a
2
2
ν
t
I
0
(
a
2
2
ν
t
)
−
2
μ
Ω
{\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {v_{\theta }}{r}}\right)_{r=a}={\frac {\rho a^{2}\Omega }{t}}e^{-{\frac {a^{2}}{2\nu t}}}I_{0}\left({\frac {a^{2}}{2\nu t}}\right)-2\mu \Omega }
其中
I
0
{\displaystyle I_{0}}
第一類修正貝索函數。
滑動的圓柱
精確解在圓柱體沿軸向以等速度
U
{\displaystyle U}
運動也存在。設圓柱體的軸向指向
x
{\displaystyle x}
方向,則方程式的解為
u
=
U
2
π
i
∫
−
i
∞
i
∞
K
0
(
r
s
/
ν
)
K
0
(
a
s
/
ν
)
e
s
t
d
s
s
.
{\displaystyle u={\frac {U}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{0}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}.}
參看
參考文獻
^ Stewartson, K. T. (1951). On the impulsive motion of a flat plate in a viscous fluid. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 4(2), 182-198.
^ Batchelor, George Keith. An introduction to fluid dynamics. Cambridge university press, 2000.
^ Lagerstrom, Paco Axel. Laminar flow theory. Princeton University Press, 1996.
^ Acheson, David J. Elementary fluid dynamics. Oxford University Press, 1990.
^ Dryden, Hugh L., Francis D. Murnaghan, and Harry Bateman. Hydrodynamics. New York: Dover publications, 1956.