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算術研究

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初版的封面

算術研究》(Disquisitiones Arithmeticae)是德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯於1798年寫成的一本數論教材,在1801年他24歲時首次出版。全書用拉丁文寫成。在這本書中高斯整理匯集了費馬歐拉拉格朗日勒讓德等數學家在數論方面的研究結果,並加入了許多他自己的重要成果。

寫作歷史

高斯在1796年就準備寫一本數論的著作。一年後,他完成了初稿。1797年11月,高斯開始對初稿進行重寫和修訂,使之成為可以印刷出來的成熟版本。印刷工作於1798年4月開始,但由於機器的原因,速度緩慢。然而這也使得高斯有時間補充一些新的內容,特別是第五章的二次互反律的部分:1801年夏季最終出版時的長度已經是初稿時的兩倍。[1]

主題

《算術研究》包括了初等數論和現在稱為代數數論領域的一部分。然而,高斯在書中並未認識到抽象代數的核心:的概念,因此沒有加以應用。高斯將這本書的主題定位為他所稱的「高等算術」。在這本書的序言一開頭,高斯明確地說到:

內容

全書有655頁,分為七個部分共335篇文章,由淺入深,從同餘理論起步,探討了同餘齊次式、同餘方程和二次剩餘理論。在二次剩餘理論中,高斯在前人的基礎上首次給出了二次互反律的證明。其後高斯又得出了雙二次互反律三次互反律,並對所謂的高斯整數進行了研究,得到了代數數論的一些基本成果[1]

第一部分:同餘概論。建立了到今天仍在使用的同餘的概念和記號。
第二部分:主要研究線性同餘方程,給出了算術基本定理輾轉相除法中國剩餘定理等初等數論的基本結果。
第三部分:「冪剩餘論」。討論了費馬小定理原根的存在性和威爾遜定理

前三部分的內容大都是其他數學家的成果,但高斯是首個將這些成果系統地匯集在一本書裏的人。他也是首個意識到唯一分解定理之重要性的人。

進入第四部分後,大部分內容便是高斯的原創了。

第四部分:「二次同餘論」。重點討論了二次剩餘的理論。高斯提出了他視為「從中可以推得幾乎所有與二次剩餘有關的東西」[3] 的「基礎定理」的二次互反律
如果p是形式為4n+1,那麼p(如果p是形式為4n+3那麼-p)是模每個為模p的二次剩餘(非剩餘)的質數的二次剩餘(非剩餘)。
高斯將這個命題分成多個單獨情況,然後用歸納法給出了第一個證明,並運用這個定理得到了一些基本結果[1][2]
第五部分: 「二次型與二次不定方程」。這一部分佔據了全書的一半有多[1],高斯研究了模p同餘中的整係數二次型以及二次型本徵等價的性質,得到了整數表示為二次形式的一般規律。之後高斯又研究了二次型的分類以及約簡。並觸及了雙二次互反律和三次互反律的研究。
第六部分: 前五章結論的應用。前五章,特別是第四、五章得到的豐富成果使得在這章用來解決很多問題。高斯討論了分數分解,十進展開以及二次同餘的問題,並提出了兩個素性檢驗的方法。
第七部分: 分圓多項式尺規作圖。高斯探求了尺規作圓內接正多邊形的方法,並給出了圓內接正19邊形和正17邊形的作法。並得到了所謂的「高斯和」的概念以及一些相關成果[1]

高斯曾經寫過《算術研究》的第八部分,探討更高次的同餘方程,但並沒能完成。草稿在他逝世後分批出版[1]

影響

在《算術研究》發表以前,數論研究只是一些孤立定理與猜想。高斯首次將這些零星的結果加以系統的處理,修補和改進了以往的證明,並在此之上發展出了自己的一系列理論與成果。《算術研究》是現代數論研究的開端[4]

《算術研究》一書的邏輯結構——聲明定理、給出證明,然後給出系理或推論——為以後的教科書編寫提供了一個榜樣,成了後世教材的標準結構。為了使讀者能夠理解證明的邏輯思路,高斯在證明後會給出相應的例子,這一點也為後來的教材所採用[1]

《算術研究》亦是十九世紀歐洲數學家如庫默爾狄利克雷戴德金等人著書的出發點。他們繼承了高斯的研究。許多《算術研究》中的評註和沒有證明的命題成為了新的研究熱點。即使到了二十世紀,《算術研究》仍在產生影響。比如第五部分中高斯簡要地敘述了他關於虛二次域類數的計算,並猜想他已經找到了所有類數為1、2和3的虛二次域。這個後來稱為類數問題的猜想直到1986年才獲得了肯定的答案[5]。同樣在第五部分,高斯證明了可以被解釋為黎曼猜想的第一類非平凡情況:哈斯-韋伊定理[6]

譯本和相關著作

《算術研究》雖然是一部十分重要的數論著作,但由於全書以拉丁文寫就,內容深奧難懂,因此將其翻譯成各國語言和進行註釋闡述的工作一直不斷。1807年,《算術研究》的法文譯本出版。1863年,狄利克雷寫了《數論講義》(Vorlesungen über Zahlentheorie)一書,對《算術研究》作了明晰的闡釋。1889年德文譯本出版。1959年出版了俄文譯本;1965年出版了英文版。

引用

《算術研究》常常被引用,出現在各種數學論文、著作和教材的註釋中。引用時一般簡寫為「DA」[1]

評價

  • 「高斯曾說:『數學是科學的女皇,數論則是數學的女皇。』如果這是真理,我們還可以補充一點:《算術研究》是數論的憲章。」——莫里茲·康托爾
  • 「此書(《算術研究》)是一座不朽的豐碑,揭示了人類思想所能達到的浩瀚的廣度和令人驚嘆的深度。」——愛德華·盧卡斯
  • 「眾書之王」——利奧波德·克羅內克
  • 「高斯首次將數學的這個部分(數論)變成了一門獨立的科學,而《算術研究》則是第一部詳盡而系統的著作。……由於雅可比狄利克雷……這本二十年來一直被七道漆封的著作成為了當代的數學。……封漆還未完全解開。」——約翰·西奧多·梅茲
  • 「數論曾一度止步不前,……這就是為什麼深奧而新穎的《算術研究》預示着高斯將成為歐洲最偉大的頭腦之一。」——路易·潘索

參見

註釋及參考來源

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Catherine Goldstein; Norbert Schappacher, Joachim Schwermer. The Shaping of Arithmetic after C.F.Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. 施普林格出版社Springer). 2007年. ISBN 3-540-20441-5 (英語). 
  2. ^ 2.0 2.1 Carl Friedrich Gauss; Poullet-Delisle 譯. Recherches Arithmetiques. 1807年 (法語). 
  3. ^ DA,art.131:「...omnia fere quae de residuis quadraticis dici possunt, huic theoremati innituntur.」
  4. ^ 《算术研究》介绍. [2008-08-27]. (原始內容存檔於2016-03-04). 
  5. ^ Ireland, K.; Rosen, M., A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York, New York: Springer-Verlag: 358–361, 1993, ISBN 038797329X 
  6. ^ Silverman, J.; Tate, J., Rational Points on Elliptic Curves, New York, New York: Springer-Verlag: 110, 1992, ISBN 0387978259