纖維叢
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纖維束(fiber bundle 或 fibre bundle)又稱纖維叢,在數學上,特別是在拓撲學中,是一個局部看來像直積空間,但是整體可能有不同的結構。每個纖維叢對應一個連續滿射
E 和乘積空間 B × F 的局部類似性可以用映射 來說明。也就是說:在每個 E 的局部空間 ,都存在一個相同的F(F 稱作纖維空間),使得 限制在 上時 與直積空間 B × F 的投影 相似。(通常會用此滿射:π : E → B 來表示一個纖維叢,而忽略F )
如果 ,也就是一個可以整體上等於乘積空間的叢叫做平凡叢(trivial bundle)。
纖維叢擴展了向量叢(vector bundle),向量叢的主要實例就是流形的切線束(tangent bundle)。他們在微分拓撲和微分幾何領域有着重要的作用。他們也是規範場論的基本概念。
正式定義
一個纖維叢由四元組(E, B, π, F)組成,其中E, B, F 是拓撲空間而π : E → B 是一個連續滿射,滿足下面給出的局部平凡(local triviality)條件。B 稱為叢的基空間(base space),E 稱為總空間(total space),而F 稱為纖維(fiber)。映射π 稱為投影映射.下面我們假定基空間B 是連通的。
我們要求對於B 中的每個點 x,存在一個在 B 中 包含 x 的開鄰域U,並有一個同胚映射 φ:π−1(U)→ U × F (顯然 U × F 是一個乘積空間) ,φ 並且要滿足 ,也就是下圖是可交換的:
其中 proj1 : U × F → U 是自然投影而 φ : π−1(U) → U × F 是一個同胚(這裏的局部平凡條件有些書會定義為 )。所有{(Ui, φi)} 的集合稱為叢的局部平凡化。
對於 B 中每點 p,原象(preimage)π−1(p) 和 F 同胚並稱為點 p 上的纖維.一個纖維叢(E, B, π, F)經常記為
以引入一個空間的短恰當序列。注意每個纖維叢 π : E → B 都是一個開映射,因為積空間的投影是開映射。所以 B 有由映射π決定的商拓撲(quotient topology).
一個光滑纖維叢是一個在光滑流形的範疇內的纖維叢。也就是,E, B, F都必須是光滑流形且所有上面用到的函數都必須是光滑映射。
例子
令E = B × F並令π : E → B為對第一個因子的投影,則E是B上的叢.這裏E不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為平凡叢.
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最簡單的非平凡叢的例子可能要算莫比烏斯帶(Möbius strip).莫比烏斯帶是一個以圓為基空間B並以線段為纖維F的叢。對於一點的鄰域是一段圓弧;在圖中,就是其中一個方塊的長。原象在圖中是個(有些扭轉的)切片,4個方塊寬一個方塊長。同胚φ把U的原象映到柱面的一塊:彎曲但不扭轉.
相應的平凡叢B × F看起來像一個圓柱,但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。注意這個扭轉只有整體上才能看出來;局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣(在其中任何一個豎直的切一刀會產生同樣的空間)。
一個類似的非平凡叢是克萊因瓶,它可以看作是一個"扭轉"的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環,S1 × S1。
纖維叢的一個特例,叫做向量叢,是那些纖維為向量空間的叢(要成為一個向量叢,叢的結構群—見下面—必須是一個線性群)。向量叢的重要實例包括光滑流形的切線束和餘切叢。
另一個纖維叢的特例叫做主叢。更多的例子參看該條目。
一個球叢是一個纖維為n維球面的纖維叢。給定一個有度量的向量叢(例如黎曼流形的切線束),可以構造一個相應的單位球叢,其在一點x的纖維是所有Ex的單位向量的集合.
截面
纖維叢的截面(section或者cross section)是一個連續映射f : B → E使得π(f(x))=x對於所有B中的x成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面,理論的一個重要作用就是檢驗和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲的示性類理論。
截面經常只被局部的定義(特別是當全局截面不存在時)。纖維叢的局部截面是一個連續映射f : U → E其中U是一個B中的開集而π(f(x))=x對所有U中的x成立。若(U, φ)是一個局部平凡化圖,則局部截面在 U上總是存在的。這種截面和連續映射U → F有1-1對應。截面的集合組成一個層(sheaf)。
結構群和轉移函數
纖維叢經常有一個對稱群描述重疊的圖之間的相容條件。特別的,令G為一個拓撲群,它連續的從左邊作用在纖維空間F上。不失一般性的,我們可以要求G有效的作用在F上,以便把它看成是F的同胚群。纖維叢的一個G-圖冊(E, B, π, F)是之前定義過的局部平凡化並且滿足:對任何兩個重疊的局部平凡化中的元素也就是圖(Ui, φi)和(Uj, φj)且 ,則函數
是由以下方式給出:
其中 是一個稱為轉移函數(transition function)的連續映射。兩個G-圖冊是等價的如果他們的併集也是G-圖冊。一個G-叢是有G-圖冊等價類的纖維叢。群G稱為該叢的結構群(structure group)。
在光滑範疇中,一個G-叢是一個光滑纖維叢,其中G是一個李群而相應的在F上的作用是光滑的並且轉換函數都是光滑映射。
轉移函數tij滿足以下條件
第三個條件用到三個相交的 上叫做餘鍵條件(cocycle condition,見Čech餘調)。
一個主叢是一個G-叢,其纖維可以認為是G本身,並且有一個在全空間上的G的右作用保持纖維不變。
參見
外部連結
參考
- Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
- David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.
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