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自治系統 (數學)

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數學中,一個動力系統被稱為自治駐定)的,若且唯若這個系統由一組常微分方程組成,並且這些方程的表達式與動力系統的自變量無關。

在有關物理的動力系統中,自變量通常是時間。這時自治系統通常表示其中的物理規律不隨時間變化的系統,也就是說空間中每一點的性質在過去、現在和將來都是一樣的。

自治系統是動力系統中很重要的一個組成部分。理論上說,所有的動力系統都可以轉化為自治系統。

定義

形式上來說,一個自治系統是一個常微分方程

其中 xn-歐幾里得空間中取值,而 t 是自變量,一般表示時間。

注意到自治系統是一般的常微分方程組中的一個特例。常微分方程的一般形式為:

物理上來說,這表示空間中一點的性質不僅取決於它的位置,還取決於時間:在不同的時間,經過此一點的質點粒子會受到不同的影響。

性質

對於一個自治系統,任意初值問題

都等價於

其中的 y1 是一個可以由 y0 確定的值。

參見

參考資料

  • 王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松,《常微分方程》(第三版),高等教育出版社。