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贗向量

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一個載有電流的線圈(黑色)會產生磁場(藍色)。若線圈的位置和電流都對應點線鏡面反射,其產生的磁場不會是原磁場的鏡面反射,會是原磁場反射後,再加以反向。線圈的位置和電流是向量,但產生的磁場是贗向量[1]

贗向量(英語:Pseudovector)也稱為偽向量,指的是在瑕旋轉下,除了隨之反射外,還會再上下翻轉的向量(因為右手定則的關係)。向量(極向量)和贗向量(軸向量)都是廣義上的向量,在一般旋轉下的特性相同。但更嚴格地說,向量還要求在瑕旋轉下,除了空間反演外,不會再改變方向。

在三維空間中,贗向量p可以表示為二個極向量ab外積[2]

以此方式計算的p是贗向量,其中一個例子是有向平面的法向量。有向平面可以用二個不平行的向量ab來定義[3]。向量a × b垂直此平面(和平面垂直的向量有二個,其方向恰好相反,可以用右手定則決定是哪一個),為一贗向量。

許多物理量是贗向量,例如磁感應強度角速度等。在數學上,贗向量是三維的二重向量,可以由此推得贗向量的轉換規則。n幾何代數英語Geometric algebra的贗向量是n − 1維代數的元素,可以表示為Λn−1Rn。可以由贗向量引申出贋純量贋張量,在瑕旋轉下會比純量張量多出一個負號。

物理例子

物理中贗向量的例子包括有磁場力矩渦量角動量

一部要遠離的車,各輪子對一觀察者產生的角動量為向左的,這部車產生的鏡像,各輪子對同一觀察者產生的角動量也是向左的

考慮贗向量角動量 L = r × p。假設開一部車前進,各輪子產生的角動量會朝左。若考慮車子的鏡像,角動量向量若以一般向量的觀點來看,其鏡像應該往右,但真正車子鏡像的角動量仍然往左(在鏡像中的車輪仍然往前進),因此在贗向量反射後,會比一般向量多一個負號。

向量和贗向量之間的不同在研究物理系統的對稱性時很重要。考慮在一個z = 0平面上的線圈,上面有電流,會產生一個z方向的磁場,此系統在z平面的鏡相反射下是對稱(不變)的,磁場不會因鏡相反射而相反,但是若將磁場視為一個一般的向量,應該會隨鏡相反射而相反,其原因就是因為磁場是贗向量,產生一個額外的負號,因此沒有反向。

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參考資料

  1. ^ Stephen A. Fulling, Michael N. Sinyakov, Sergei V. Tischchenko. Linearity and the mathematics of several variables. World Scientific. 2000: 343. ISBN 981-02-4196-8. 
  2. ^ Aleksandr Ivanovich Borisenko, Ivan Evgenʹevich Tarapov. Vector and tensor analysis with applications Reprint of 1968 Prentice-Hall. Courier Dover. 1979: 125 [2014-08-20]. ISBN 0-486-63833-2. (原始內容存檔於2016-12-22). 
  3. ^ RP Feynman: §52-5 Polar and axial vectors頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) from Chapter 52: Symmetry and physical laws, in: Feynman Lectures in Physics, Vol. 1