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赫爾維茨ζ函數

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復空間赫爾維茨ζ函數

赫爾維茨ζ函數(Hurwitz zeta function)定義如下

其中都是複數,並且有,

對於給定的q,s,此函數可以擴展到 s≠1的亞純函數.

黎曼ζ函數=

級數展開

赫爾維茨ζ函數可以展開成級數::[1]


此級數在S空間的緊空間子集中均勻收斂成為一個整函數

積分式

赫爾維茨ζ函數可以表示為下列梅林變換

其中

赫爾維茨公式

其中

對於 and s > 1成立,其中 代表 多重對數.

泰勒展開

赫爾維茨ζ函數的導數是平移:


因此赫爾維茨ζ函數的泰勒級數可表示為:

其中 .[2]

與Θ函數的關係

 代表 雅可比 Θ函數, 则

對於 and 複數z 成立,但對於 z=n 整數,則有

其中 ζ 代表黎曼ζ函數.

推廣

正整數m的赫爾維茨ζ函數與 多伽瑪函數有下列關係:

For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:[3]

The 巴恩斯ζ函數是赫爾維茨ζ函數的推廣。

The 勒奇超越函數也是赫爾維茨ζ函數的推廣:

即:

赫爾維茨ζ函數與超幾何函數的關係:

其中

Meijer G函數

參考文獻

  1. ^ Hasse, Helmut, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, Mathematische Zeitschrift, 1930, 32 (1): 458–464 [2015-02-04], JFM 56.0894.03, doi:10.1007/BF01194645, (原始內容存檔於2017-08-05) 
  2. ^ Vepsta卄s, Linas. An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions. 2007. arXiv:math.CA/0702243可免費查閱.  cite arXiv模板填寫了不支持的參數 (幫助)
  3. ^ Apostol (1976) p.264

延伸閱讀