定義
的映射
(
指
的冪集的冪集)。這樣
將
的每個點
映射至
的子集族
。
稱為
的鄰域系(或稱鄰域系統,
的元素稱為
的鄰域),若且唯若對任意的
,
滿足如下鄰域公理:
- U1:若
,則
。
- U2:若
,則
。(鄰域系對鄰域的有限交封閉)。
- U3:若
,
,則
。
- U4:若
,則存在
,使
且對所有
,有
。
從鄰域出發定義其它拓撲空間的基礎概念:
- 從鄰域定義開集:
的子集
是開集,若且唯若對任意
,有
。(
是其中每個點的鄰域)。
- 從鄰域定義開核:
的子集
的開核
。
- 從鄰域定義閉包:
的子集
的閉包
。
參照濾子的定義。給定點x,其鄰域系
恰構成了一個濾子,稱為鄰域濾子。
鄰域基
點
的鄰域基或局部基
,就是鄰域濾子
的濾子基。它是
的子集,滿足:每個x的鄰域
都存在
,使
。
- (
,使
,
)
反之,給出鄰域基
,可以反推出相應的鄰域濾子:
。[1]
例子
- 若拓撲空間X是不可分拓撲,則任何點 x 的鄰域系是整個空間
![{\displaystyle {\mathcal {V}}(x)=\{X\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684f042ff908e5b1dc1e1b36f5c77a87e7ce76fb)
- 在度量空間中,對於任何點 x,圍繞 x 有半徑 1/n 的開球序列形成可數鄰域基
。這意味着所有度量空間都是第一可數的。
。
- 這是因為向量加法在引發的拓撲中是分離連續的。所以這個拓撲確定自它的在原點的鄰域系。更一般的說,只要拓撲是通過平移不變度量或偽度量定義的以上結論就是真的。
- 非空集合 A 的所有鄰域系是叫做 A 的鄰域濾子的濾子。
- 拓撲空間 X 中所有點 x 的局部基的併集是 X 的基。
參見
註釋
- ^ Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)