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阿依熱爾曼猜想

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阿依熱爾曼猜想(Aizerman's conjecture)或阿依熱爾曼問題猜想(Aizerman problem)是非線性控制的猜想,認為一線性系統有非線性的回授,不過是在一個扇形的線性區間內,若線性系統在此扇形線性區間都穩定,則整個系統都會穩定。

阿依熱爾曼猜想在一維系統成立,在二維系統是全域穩定的充份必要條件,而針對維度大於3的情形,這個猜想已找到反證[1][2],不過後來因此推導出(有效的)非線性控制全域穩定性準則

阿依熱爾曼猜想的數學描述

考慮一個系統,其中包括一個純量非線性的函數

其中P是常數n×n矩陣、q和r是常數n維向量、∗ 是轉置算子、f(e)是純量函數,且 f(0)=0。假設非線性函數f是有扇型區間的上下限,也就是存在實數,滿足,且函數滿足

阿依熱爾曼猜想就是指此系統在全域穩定(有唯一穩定點,而且是全域吸引子)若所有在f(e)=ke, k ∈(k1,k2)下的線性系統都是漸近穩定。

存在阿依熱爾曼猜想的反例,非線性函數在線性穩定的範圍內,且系統除了唯一的穩定平衡點外,還有穩定的週期解—隱蔽振盪[2][3][4][5]

卡爾曼猜想是強化版本的阿依熱爾曼猜想,在非線性回授的部份要求回授的微分需在線性穩定區間內,結果也存在反例。

參考資料

  1. ^ Aizerman's and Kalman's conjectures and DF method (PDF). [2019-04-04]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04). 
  2. ^ 2.0 2.1 Bragin V.O.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V.; Leonov G.A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011, 50 (5): 511–543 [2019-04-04]. doi:10.1134/S106423071104006X. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04). 
  3. ^ Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Algorithms for Searching for Hidden Oscillations in the Aizerman and Kalman Problems (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 475–481 [2019-04-04]. doi:10.1134/S1064562411040120. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04). 
  4. ^ Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems (PDF). IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). 2011, 18 (1): 2494–2505 [2019-04-04]. doi:10.3182/20110828-6-IT-1002.03315. (原始內容存檔 (PDF)於2020-07-09). 
  5. ^ Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Hidden attractors in dynamical systems. From hidden oscillations in Hilbert-Kolmogorov, Aizerman, and Kalman problems to hidden chaotic attractor in Chua circuits. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2013, 23 (1): art. no. 1330002. doi:10.1142/S0218127413300024. 

延伸閱讀

外部連結