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G-結構

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微分幾何中,對一個給定的結構群 G[1]n流形 M 上一個 G-結構M切標架叢 FM(或 GL(M))的一個 G-子叢

G-結構的概念包括了許多流形上其它結構,其中一些是用張量場定義的。例如,對正交群,一個 O(n)-結構定義了一個黎曼度量;而對特殊線性群,一個 SL(n,R)-結構就是一個體積形式;對平凡群,一個 {e}-結構由流形的一個絕對平行化組成。

一些流形上的結構,比如複結構辛結構,或 凱勒結構,都是 G-結構帶上附加的可積性條件

物理學中的術語是規範群

主叢和 G-結構

儘管主叢理論在 G-結構的研究中的角色很重要,但兩個概念是不同的。一個 G-結構是一個切標架叢的主子叢,但是 G-結構叢「由切標架組成」的事實被視為數據的一部分。例如,考慮 Rn 上兩個黎曼度量。伴隨的 SO(n)-結構是同構若且唯若度量是同構的。但是,因為 Rn 是可縮的,故下面的 SO(n)-叢作為主叢總是同構。

兩個理論的這個基本差別能夠被在G-結構下面的 G-叢上添加一個額外的數據:焊接形式solder form)記錄。焊接形式是用一個從 M 的切叢到配向量叢的典範同構將 G-結構下面的 G 叢繫於流形自身的局部幾何上。儘管焊接形式不是一個聯絡形式,經常可以視為一個聯絡形式的前身。

詳細說來,假設 QG-結構的主叢。如果 Q 是實現為 M 的切叢的壓縮,那麼焊接形式是標架叢的重言形式由包含映射的拉回給出。抽象地,如果將 Q 視為與它作為一個標架叢實現獨立的一個主叢,那麼焊接形式由 GRn 上的一個表示 ρ 以及一個叢同構 θ : TMQ ×ρ Rn 組成。

可積性條件

流形上不少結構,比如複結構辛結構,或 凱勒結構,均是 G-結構附加一個可積性條件。沒有相應的可積性條件,這些結構稱為一個「殆(幾乎)」結構,比如殆複結構殆辛結構,或殆凱勒流形

特別地,一個辛流形結構是比一個辛群G-結構更強的概念。流形上一個辛結構是 M 上一個非退化2形式 ω(這是一個 -結構,或殆辛結構),以及額外條件 dω = 0;後者稱為可積性條件。

類似地,葉狀結構對應於 G-結構為分塊矩陣以及可積性條件,這樣便可利用弗羅貝尼烏斯定理

G-結構的同構

M 的保持 G-結構的微分同胚集合稱為這個結構的「自同構群」。對一個 O(n)-結構它們就是黎曼度量的等距群,而一個 SL(n,R)-結構為保持體積的映射。

P 是流形 M 上一個 G-結構,Q 是流形 N 上一個 G-結構。那麼 G-結構的同構是一個微分同胚 f : MN,使得線性標架的前推 f* : FMFN 的限制給出了 PQ 的一個映射(注意只要 Qf* 的像中)。G-結構 PQ局部同構如果 M 有一個開集覆蓋 U 和一族微分同胚 fU : Uf(U) ⊂ N 使得 fU 誘導了一個同構 P|UQ|f(U)

一個 G-結構的自同構G-結構 P 和自己的同構。自同構經常[2]在研究幾何結構的變換群中出現,因為流形上許多重要的幾何結構可實現為 G-結構。

如果 G-結構 P 有一個由可交換向量場(V1,...,Vn) 組成的整體截面,則稱其為平坦 G-結構。若一個 G-結構局部同構於平坦 G-結構,則稱為可積的(或「局部平坦」)。

一類廣泛的等價問題可以用 G-結構語言闡述。例如,一對黎曼流形是(局部)等價等且僅當 它們的正交標架叢是(局部)同構的 G-結構。在這種看法下,解決一個等價問題的一般過程是建立 G-結構的一個不變量系統使得足以確定一對 G-結構是否為局部等價。

G-結構的聯絡

QM 上一個 G-結構。主叢 Q 上的一個主聯絡誘導了任何配向量叢的一個聯絡:特別是切叢。TM 以這種方式產生的線性聯絡 ∇ 稱為與 Q 相容。與 Q 相容的聯絡也稱為容許的聯絡

具體說來,容許聯絡可用活動標架[3]來理解。TM一個局部截面(即 M 的一個標架)定義了 Q 的一個截面,假設 Vi 是這個它的一組基。任何聯絡 ∇ 決定了一個取決於基的 1-形式 ω:

X Vi = ωij(X)Vj

這裏,作為作為 1-形式矩陣 ω ∈ Ω1(M)⊗gl(n)。一個容許聯絡是 ω 在 G 的李代數 g 上的一個取值。

G-結構的撓率

任何 G-結構伴隨有撓率,和聯絡的撓率有關。注意到一個給定的 G-結構可能有許多不同的容許聯絡,這些聯絡可能有不同的撓率。儘管如此,我們還是能夠獨立地定義 G-結構的撓率如下。[4]

連個容許聯絡的區別是一個 M 上一個取值於伴隨叢 AdQ 的 1-形式。這便是說,容許聯絡的空間 AQ 是對 Ω1(AdQ) 的一個仿射空間

容許聯絡的撓率定義了映射

映到係數為 TM 中的 2-形式。這個映射是現行的;其線性化

稱為代數撓率映射。給定兩個容許聯絡 ∇ 與 ∇′,它們的撓率張量 TT∇′ 差一個 τ(∇−∇′)。從而T 在 coker(τ) 中的像與 ∇ 的選取無關。

對任何一個聯絡,T 在 coker(τ) 中的像稱為 G-結構的撓率。如果一個 G-結構的撓率為 0,稱為無撓的。這恰好在 Q 有一個無撓容許聯絡時發生。

例:殆複結構的撓率

G-結構的一個例子是殆複結構,這是將一個偶數維流形的結構群約化為 GL(n,C)。這樣的約化由一個 C-線性自同態 J ∈ End(TM) 使得 J2 = −1 惟一確定。在此情形,撓率可明確地算出來:

一個簡單的維數計算說明

,

這裏 Ω2,0(TM) 是滿足

的形式 B ∈ Ω2(TM) 的空間。

從而,一個殆復結構的撓率可以視為 Ω2,0(TM) 中一個元素。容易驗證一個殆復結構的張量等於它的尼延黑斯張量

高階 G-結構

一個特定的 G-結構(例如,辛形式)上的壯觀的可積性條件可通過擴張程序處理。在這種情形,擴張後的 G-結構不能構和線性標架從的一個 G-子叢等價。許多情況下,擴張後它自身也是一個主叢,而其結構群可以等價於高階射流群的一個子群。此時,它也稱為一個高階 G-結構(Kobayashi)。一般地,嘉當等價方法運用到這種情形。

參見

註釋

  1. ^ 結構群是一個李群 映到一般線性群 。這經常是但不必是李子群;例如,對一個spin 結構映射是像的覆蓋空間
  2. ^ Kobayashi (1972).
  3. ^ Kobayashi (1972) I.4.
  4. ^ Gauduchon (1997).

參考資料