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升鏈條件

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數學中,升鏈條件(Ascending Chain Condition)降鏈條件(Descending Chain Condition)是一些代數結構具有的性質,例如交換環中的理想

定義

偏序集滿足升鏈條件,如果在中不存在嚴格升序列

其中的都是中的元素。等價地,中任意不嚴格升序列

最終都是穩定的,即存在一個正整數使得

類似地,滿足降鏈條件如果在中不存在嚴格降序列或者每個不嚴格降序列最終都是穩定的。

性質

  • 利用選擇公理,偏序集滿足降鏈條件等價於滿足良基關係的每個非空子集都有一個極小元。滿足良基關係的偏序集稱為良序集
  • 類似地,偏序集滿足升鏈條件等價於的每個非空子集都有一個極大元。

例子

正整數環中的理想滿足升鏈條件,其中理想是通過包含關係進行排序,於是是一個諾特環