半直積

在數學中，特別抽象代數裏的群論中，半直積（英語：semidirect product）是從其中一個是正規子群的兩個子群形成一個群的特定方法。半直積是直積的推廣。半直積是作為集合的笛卡爾積，但帶有特定的乘法運算。

內半直積

定義

令 $G$ 為群， $N$ 為 $G$ 的一個正規子群， $H$ 是 $G$ 的一個子群。下列命題等價:

• $G=NH$ 且 $N\cap H=\{e\}$ （ $e$ 是 $G$ 的單位元）
• $G$ 的每個元素可以唯一表示為 $H$ 的一個元素和 $N$ 的一個元素的積
• 自然的嵌入 $H\rightarrow G$ , 和自然的投影 $G\rightarrow G/N$ 的複合是 $H$ 和 $G/N$ 之間的同構
• 存在同態 $G\rightarrow H$ ，它的像是 $H$ 本身而其核是 $N$。

如果這些命題中的一個(從而所有)成立，則稱 $G$ 是一個 $N$ 和 $H$ 的內半直積，或者說 $G$ 在 $N$ 上「分裂(splits)」，並寫作 $G=N\rtimes H$。

基本事實

若 $G$ 是其正規子群 $N$ 和子群 $H$ 的內半直積，而且 $N$ 和 $H$ 都是有限的，則 $G$ 的階等於 $N$ 和 $H$ 的階的乘積。

與直積不同，內半直積通常不是唯一的。令 $G$ 和 $G'$ 為包含 $N$ 為正規子群，並且都包含 $H$ 為子群的兩個群，而且二者都是 $N$ 和 $H$ 的內半直積， $G$ 與 $G'$ 未必同構。

外半直積

定義

給定任意兩個群N和H（不必是某個群的子群）和一個群同態φ : H → Aut(N)(其中Aut(N)表示N的所有自同構組成的群)，我們定義如下的一個新群N ⋊_φ H，稱作N和H相對於φ的外半直積:

基礎的集合是集合直積 N × H，而群運算*給定為

(n₁, h₁) * (n₂, h₂) = (n₁ φ(h₁)(n₂), h₁ h₂)

對於所有N中的n₁, n₂ 和H中的h₁, h₂。這確實定義了一個群；其么元為(e_N, e_H)，而元素(n, h)的逆為(φ(h^–1)(n^–1), h^–1)。

基本事實

N × {e_H}是同構於N的正規子群, {e_N} × H是同構於H的子群，而N ⋊_φ H是這兩個子群的內半直積。

若G是一個N和H的內半直積，令映射φ : H→Aut(N)為如下同態

φ(h)(n)=hnh^–1

則G同構於外半直積N ⋊_φ H，該同構把乘積nh映到2元組(n,h)。在G中,我們有如下規則

(n₁h₁)(n₂h₂) = n₁(h₁n₂h₁^–1)(h₁h₂)

而這是上述外半直積的定義的深層原因，也是一個記住它的方便辦法。

群的分裂引理（splitting lemma）的一個版本稱群G同構於兩個群N和H的外半直積若且唯若存在短正合序列

$0\longrightarrow N\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!u}\ \,G\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!v}\ \,H\longrightarrow 0$

和一個群同態r : H → G 使得v o r = id_H, H上的恆等映射。在這種情況, 給出φ : H → Aut(N)如下

φ(h)(n) = u^–1(r(h)u(n)r(h^–1)).

例子

有 2n個元素的二面體群 D_n 同構於循環群C_n 和C₂的半直積。這裏，C₂的非單位元作用於C_n，將元素變成其逆；這是一個自同構因為C_n是交換群。

平面的剛體運動群(映射f : R² → R² 使得x和y之間的歐氏距離等於f(x) 和f(y)之間的距離對於所有在R²中的x和y成立)同構於交換群R² (描述平移)和正交 2×2矩陣的群O(2)(描述轉動和反射)的半直積。每個正交矩陣通過矩陣乘法作用在R²上，並且是一個自同構。

所有正交n×n矩陣的群O(n)(直觀的講，所有n維空間的所有轉動和反射的集合)同構於群SO(n) (所有行列式值為1的正交矩陣，直觀的講n維空間的轉動的集合)和C₂的準直積。如果我們將C₂表示為矩陣{I, R}的乘法群,其中R是n維空間的翻轉(也就是行列式為-1的正交對角矩陣),則φ : C₂ → Aut(SO(n)) 由φ(H)(N) = H N H^–1對所有 在C₂中的H 和SO(n)中的N給出。

與直積的關係

假設G是一個正規子群N和子群H的內半直積。若H也在G中正規，或者說，若存在一個同態G → N是N上的恆等映射，則G是N和H的直積。

兩個群N和H的直積可以視為N和H相對於φ(h) = id_N (對於所有H中的h)的外半直積。

注意在直積中，因子的次序不重要，因為N × H同構於H × N。這在半直積中不成立，因為兩個因子的角色不同。

推廣

半直積的構造可以推得更廣。在環理論中有一個版本，環的交叉積（crossed product of rings）。一旦構造了群的一個半直積的群環，這可以很自然的看出。還有李代數的半直和。給定拓撲空間上的一個群作用，存在一個相應的交叉積，它通常非交換，即使群是可交換的。這樣的環在群作用的軌道空間有重要作用，特別是當該空間不能用常規的拓撲技術處理的時候，例如在阿蘭·孔涅的工作中（細節請參見非交換幾何）。

在範疇論中也有推廣。它們表明了如何從「指標範疇(indexed categories)」構造「纖維範疇(fibred categories)」。這是外準直積的抽象形式。

參看

• 圈積(Wreath product)