可加性是指對於某種變換來說,特定的「加法」和該變換的順序可顛倒而不影響結果,這樣一種性質。
例如對於兩個實數 x 和 y,我們可以先執行加法 x+y、後把結果乘以二;也可以先各自乘以二然後再相加,兩邊結果是一樣的。那麼我們說變換「乘以二」具有可加性。
定義
一個函數f:A→B,其定義域A和陪域B上分別定義了某種加法
和
。若該函數滿足:∀x,y∈A,有
。則稱f對於
和
滿足可加性。在上下文對於
和
都很明確的情況下,通常簡稱為 f 滿足可加性,亦稱f為可加函數。
若上述函數f滿足:∀有限集
,有
,則稱f滿足有限可加性。
若上述函數f滿足:∀可列集
,有
,則稱f滿足可列可加性。
示例
- 定積分的可加性:設
,那麼
——積分區間是可加的。
- 集函數的可加性:定義域為集類S,值域為[0, ∞]上的廣義實值集函數f,若:
,有
,則稱f為可加的。
,有
,則稱f為有限可加的。
,有
,則稱f為可列可加的。