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拉薩爾不變集原理

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拉薩爾不變集原理(LaSalle's invariance principle)也稱為不變集原理(invariance principle)[1]Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理(Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle)[2]克拉索夫斯基-拉薩爾原理(Krasovskii-LaSalle principle),是自治動力系統(可能是非線性系統李雅普諾夫穩定性的判斷準則。

全域穩定性版本

考慮以下方程式的系統

其中為符合以下條件的變數向量

若可以找到 函數 ,使下式成立

針對所有(半負定)

則任何軌跡中聚點(accumulation point)的集合都在內, 是其完整軌跡完全在集合的聯集。

函數又有正定的性質,即

,針對所有的

而且除了 for 的平凡軌跡外,未包括其他軌跡,則原點為李雅普諾夫穩定性

再者,若是徑向無界(radially unbounded)

時,

原點為全域漸近穩定

局部穩定性版本

,當

在原點的鄰域內才成立,且集合

除了的軌跡外,不包括其他系統的軌跡,則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本,原點有局部的漸近穩定性

和李雅普諾夫穩定性的關係

If 負定,則原點的全域漸進穩定是李雅普諾夫第二定理的結果。若只是半負定,不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。

例子:有摩擦力的單擺

此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下[1]

其中是單擺的角度,以垂直往下的角度為0度,是單擺的質量,摩擦系數g是因重力產生的加速度。

因此可以將系統方程式表示如下

利用不變集原理,可以證明一定大小的球體,若初始位置在原點附近,可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義

即為系統的能量[2]在原點附近,半徑的開球體內為正定。計算其導數

可觀察到。若成立,可以依李雅普諾夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜,只是半負定。不過,以下集合

也就是

除了平凡軌跡x = 0外,不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 , ,則因為必需小於,則。因此,軌跡不會停留在集合內。

不變集原理的所有條件都滿足,也可以下結論說:所有在原點附近的軌距,當時,最後都會收斂到原點[3]

歷史

此結果是由約瑟夫·皮爾·拉薩爾英語J.P. LaSalle(在RIAS英語Research Institute for Advanced Studies)及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基英語Nikolai Nikolaevich Krasovsky兩人獨立發現,兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文,是西方第一位發表此定理的人,而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例,而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理[4]

相關條目

原始論文

  • LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF頁面存檔備份,存於互聯網檔案館))
  • Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 (俄語). 
  • Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

教科書

教材

參考資料

  1. ^ Khalil, Hasan. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. 2002. 
  2. ^ Wassim, Haddad; Chellaboina, VijaySekhar. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008. 
  1. ^ Lecture notes on nonlinear control頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
  2. ^ ibid.
  3. ^ Lecture notes on nonlinear analysis頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
  4. ^ Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.