正六百胞體
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正六百胞體 (600胞體) | |
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![]() | |
類型 | 正多胞體 |
家族 | 類二十面體形 |
對偶多胞形 | 正一百二十胞體![]() |
識別 | |
鮑爾斯縮寫 | ex![]() |
數學表示法 | |
考克斯特符號 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
施萊夫利符號 | {3,3,5}![]() |
性質 | |
胞 | 600 (3.3.3) ![]() |
面 | 1200 {3} ![]() |
邊 | 720 |
頂點 | 120 |
組成與佈局 | |
頂點圖 | ![]() (3.3.3.3.3) |
對稱性 | |
對稱群 | H4, [3,3,5] |
特性 | |
凸多胞形, 點可遞, 邊可遞, 面可遞 | |
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Cell600-4dpolytope.png/220px-Cell600-4dpolytope.png)
幾何學中,正六百胞體(hexacosichoron)是四維凸正多胞體,施萊夫利符號是{3,3,5},有時候會視為正二十面體的四維類比。
正六百胞體的邊界有600個正四面體胞、1200個正三角形面、720條邊和120個頂點。每一頂點有20個正四面體相接。
幾何性質
正六百胞體的對偶多胞體是正一百二十胞體。
正六百胞體的頂點圖是正二十面體。
邊長為a的正六百胞體超體積為,表體積為50√2a3。
以原點為中心,邊長為 1/φ 的正六百胞體(其中φ = (1+√5)/2是黃金比例),頂點坐標如下:16個頂點形式如下
- (±½,±½,±½,±½),
8個頂點從下列坐標不同排列得出
- (0,0,0,±1),
剩下96個頂點是下列坐標的偶置換
- ½(±1,±φ,±1/φ,0)。
如果一個正六百胞體的棱長為1,則其外接超球半徑為即黃金分割比;其外中交超球(經過正六百胞體每條棱的中點)半徑為;其內中交超球(經過正六百胞體每個面的中心)半徑為;其內切超球半徑為 。
注意到首16個頂點構成超正方體,次8個構成正十六胞體。這24個頂點一起構成正二十四胞體,事實上,如果移除這24個頂點,就會得到另一個有意思的半正多胞體扭棱正二十四胞體(Snub Icositetrachoron)。
對稱群構造
如果把坐標看作四元數,正六百胞體的120個頂點以四元數乘法組成群。這個群通常稱為雙二十面體群,因為它是二十面體群I的雙重覆蓋。這個雙十二面體群也可被看作是正六百胞體的旋轉(無反射)對稱群,因為單位四元數的乘法等同於點的旋轉,也因此雙十二面體群是H4群的一個子群。雙二十面體群同構於特殊線性群SL(2,5)。
可視化
正六百胞體的胞眾多,並且這些正四面體胞基本上沒有什麼規律可循,為正六百胞體的可視化帶來了許多困難,但作為正一百二十胞體的對偶,許多正一百二十胞體的性質也表現在正六百胞體上。
大圓結構
正一百二十胞體的10個會首尾相連,構成「大圓」,這些胞與正六百胞體的頂點對偶,它們也會互相連接形成一個正十邊形,這正十邊形的每一條邊周圍都有5個正四面體共這條邊,這種結構看上去就像有稜有角的飛盤。正十邊形相鄰的兩條棱周圍的兩簇正四面體中間會有空隙,我們可以在填入10個正四面體使其構成正二十面體,這樣你就會得到一個涉及150個胞、10條棱、100個裸露的正三角形面的環形結構,我們還可以在向這些面上填上正四面體,會得到一個涉及250個胞的有50個突出的頂點和100條凹陷的棱的大圓,它與另一條與之正交的250胞環在頂點處咬合,剩餘的棱的空隙是剩餘的100個胞。現在,如果我們去掉這兩條大圓最初的10個頂點,我們就會得到四維唯一的非Wythoff凸半正多胞體——重反稜柱,原來的大圓處留下了各10個正五反稜柱,並剩下了300個正四面體胞。
參考
- 600-cell (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) 逐層剖析了正六百胞體的表分層結構
- Regular Convex Four-Dimensional Polytopes[永久失效連結]提供了正六百胞體的幾何數據
四維正多胞體 | |||||
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正五胞體 | 超立方體 | 正十六胞體 | 正二十四胞體 | 正一百二十胞體 | 正六百胞體 |
{3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
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