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等角螺線

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等角螺線

等角螺線對數螺線生長螺線是在自然界常見的螺線,在極坐標系中,這個曲線可以寫為

因此叫做「對數」螺線。

定理

  • 等角螺線的臂的距離幾何級數遞增。
  • 為穿過原點的任意直線,則與等角螺線的相交的永遠相等(故其名),而此值為
  • 為以原點圓心的任意,則與等角螺線的相交的永遠相等,而此值為,名為「傾斜度」
  • 等角螺線是自我相似的;這即是說,等角螺線經放大後可與原圖完全相同。
  • 等角螺線的漸屈線垂足曲線都是等角螺線。
  • 從原點到等角螺線的任意點上的長度有限,但由那點出發沿等角螺線走到原點卻需繞原點轉無限次。這是由托里拆利發現的。

歷史

雅各布·白努利的墓碑,下方即為雕刻師誤刻的阿基米德螺線。

等角螺線是由笛卡兒在1638年發現的。雅各布·白努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性,如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性,故要求死後將之刻在自己的墓碑上,並附詞「縱使改變,依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻師誤將阿基米德螺線(等速螺線)刻了上去。

自然現象

鸚鵡螺的貝殼像等角螺線
旋渦星系的旋臂像等角螺線
低氣壓的外觀像等角螺線

構造等角螺線

  • 複平面上定義一個複數,其中,那麼連結的曲線就是一條等角螺線。
複平面上的等角螺線
複平面上的等角螺線
  • 是複平面中的一條直線且不平行於實數或虛數軸,那麼指數函數會將這些直線映像到以 0 為中心的等角螺線。
  • 使用黃金矩形
黃金長方形中的等角螺線
黃金長方形中的等角螺線
  • 在平面上, 質點圍繞原點逐漸離開, 相對於原點的角速度恆定, 且相對於原點的距離以等比例增長, 則其軌跡為等角螺線。這是因為,則有

參見

引用

外部連結