米田引理

在範疇論中，米田引理斷言一個對象$X$的性質由它所表示的函子$\mathrm {Hom} (X,-)$或$\mathrm {Hom} (-,X)$決定。此引理得名於日本數學家暨計算機科學家米田信夫。

陳述

設${\mathcal {C}}$為一範疇，定義兩個函子範疇如下：

${\mathcal {C}}^{\wedge }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}},\mathbf {Set} )$

${\mathcal {C}}^{\vee }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} )$

並定義兩個函子：

$h_{\mathcal {C}}(X)=h_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,X)$

$k_{\mathcal {C}}(X)=k_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,-)$

其中$h_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\wedge }$而$k_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\vee }$。

米田引理的抽象陳述如下：

米田引理。有自然的同構

$\forall X\in {\mathcal {C}},A\in {\mathcal {C}}^{\wedge }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\wedge }}(h_{X},A)\simeq A(X)$

$\forall X\in {\mathcal {C}},B\in {\mathcal {C}}^{\vee }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\vee }}(k_{X},B)\simeq B(X)$

這兩個同構對所有變元$A,B,X$都滿足函子性。

對任一對象$Y\in {\mathcal {C}}$，在上述同構中分別取$A=h_{Y},B=k_{Y}$，便得到米田引理最常見的形式：

推論。函子$h_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\wedge }$與$k_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\vee }$是完全忠實的。

應用

更多資訊：可表函子

由上述推論，範疇中的對象$X$由它所表示的函子$h_{X}$或$k_{X}$唯一確定（至多差一個同調），這是可表函子理論的根基所在。例如在代數幾何中，一個常見的技術是將概形等同於它所代表的函子，後者往往具有直觀的幾何詮釋，技術上亦較容易處理；另一方面，我們也往往從函子的觀點研究空間的商、極限或者是模空間問題，第一步是定義適當的「函子解」，其次再研究它可表與否。代數拓撲中的分類空間也是可表函子概念的體現。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結

• Pierre Schapira, Categories, sites, sheaves and stacks