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素數的倒數之和

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公元前3世紀,歐幾里得證明了素數有無窮多個。公元十八世紀歐拉證明了所有素數的倒數之和發散。這裏給出一些證明。

證明一

因為當n逐漸增大時,前n個整數的倒數之和趨近於ln(n),所以

證明二

此證明由保羅·埃爾德什給出。用反證法

假設所有素數的倒數之和收斂:

定義為第i個素數,可得到

存在一個整數i使得

定義N(x)為不超過x且不能被任何大於第i個素數的素數整除的正整數n的個數。 設k不再含平方因子(任何整數都可以這樣)。 由於只有i個素數能整除kk最多只有種選擇。 又因為m最多只能取個值,可得到:

不超過x且能被某些大於第i個素數的素數整除的正整數n的個數為x − N(x)。

因為不超過x且能被p整除的整數最多有x/p個,可得到

但這是不可能的。

證畢

參見

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