自我數

自我數也叫哥倫比亞數（Colombian number），是在給定進制中，不能由任何一個整數加上這個整數的各位數字和生成的數，稱之為自我數。例如：21不是自我數，因為21可以由整數15和15的各位數字1,5生成，即21＝15＋1＋5。20不能滿足上述條件，所以它是自我數。1949年印度數學家卡普耶卡第一次描述這種數。

開始的幾個十進制自我數是：

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, 501, 512, 514, 525（OEIS數列A003052）

一般的，在偶數為底的進制中，所有小於這個偶數的奇數都是自我數，因為這個進制中所有的奇數加上1結果都是偶數。在奇數為底的進制中，所有的奇數都是自我數。

下面的線性遞推關係式生成十進制的自我數：

$C_{k}=8\cdot 10^{k-1}+C_{k-1}+8$

其中C₁ = 9

在二進制中

$C_{k}=2^{j}+C_{k-1}+1$

j表示這個數的位數。我們可以生成一個在以b為底的進制中生成自我數的線性遞推關係式。

$C_{k}=(b-2)b^{k-1}+C_{k-1}+(b-2)$

其中 C₁ = b - 1適用於偶數為底的進制中， C₁ = b - 2適用於奇數為底進制中。

這個線性遞推關係式的存在說明在任意數為底的進制中自我數是無窮的。