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貝爾綱定理

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貝爾綱定理(英語:Baire category theoremBCT)是點集拓撲學泛函分析中的一個重要的工具。這個定理有兩種形式,每一個都給出了拓撲空間貝爾空間充分條件

該定理由勒內-路易·貝爾在他1899年的博士論文中證明。[1]

定理的陳述

一個貝爾空間是一個拓撲空間,具有以下性質:對於任意可數個稠密集Un,它們的交集∩ Un都是稠密的。

注意從以上任何一個命題都不能推出另一個,因為存在一個不是局部緊的完備度量空間(帶有定義如下的度量的無理數),也存在一個不可度量化的局部緊豪斯多夫空間(不可數福特空間)。參見以下文獻中的Steen and Seebach

  • BCT3)一個非空的完備度量空間不是可數個無處稠密集(也就是閉包具有稠密補集的集合)的併集。

這個表述是BCT1的一個結果,有時更加有用。另外,如果一個非空的完備度量空間是可數個閉集的併集,那麼其中一個閉集具有非空的內部。

與選擇公理的關係

BCT1BCT2的證明需要選擇公理的某種形式;實際上,BCT1與選擇公理的一個較弱的版本——依賴選擇公理等價。[2]

定理的應用

BCT1可以用來證明開映射定理閉圖像定理一致有界原理

BCT1也表明每一個沒有孤立點的完備度量空間都是不可數的。(如果X是一個可數的完備度量空間且沒有孤立點,那麼在X中每一個單元素集合都是無處稠密的,因此X在它本身內是第一綱)。特別地,這證明了所有實數所組成的集合是不可數的。

BCT1表明以下每一個都是貝爾空間:

  • 實數空間R
  • 無理數,其度量定義為d(x, y) = 1 / (n + 1),其中n是使xy連分數展開式不同的第一個指標(這是一個完備度量空間);
  • 康托爾集

根據BCT2,每一個流形都是貝爾空間,因為它是局部緊空間,也是豪斯多夫空間。這甚至對非仿緊(因此不可度量化)的流形如長直線也是成立的。

證明

以下是完備度量空間是貝爾空間的一個標準的證明。

為一個開稠密子集的集合。我們希望證明交集是稠密的。一個子集 是稠密的若且唯若空間中任意一個非空的開集都與 相交。為此,我們只需證明 的任意非空開子集 有一個點 包含於所有的 中。為此,設為一個開子集。根據稠密性,存在,使得:

遞歸地,我們求出,使得:

而且

由於當時,,因此柯西序列,且收斂於某個極限。對於任何,根據封閉性,有:

因此,對於所有,都有

註釋

  1. ^ R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles.頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.
  2. ^ 存档副本. [2009-04-24]. (原始內容存檔於2009-09-12). 

參考文獻