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超限歸納法

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超限歸納法(英語:Transfinite Induction)是數學歸納法向(大)良序集合比如基數序數的集合的擴展。

超限歸納

假設只要對於所有的為真,則也為真。那麼超限歸納告訴我們對於所有序數為真。

就是說,如果為真只要對於所有為真,則對於所有為真。或者更實用的說:若要證明所有序數都符合性質,你可以假定它對於所有更小的已經是成立的。

通常證明被分為三種情況:

  • 零情況: 證明為真。
  • 後繼情況: 證明對於任何後繼序數得出自(如果需要的話,也假定對於所有 )。
  • 極限情況: 證明對於任何極限序數得出自 [對於所有]。

留意,以上三種情況(證明方法)都是相同的,只是所考慮的序數類型不同。正式來說不用分開考慮它們,但在實踐時,因為它們的證明過程通常相差很大,所以需要分別表述。在一些情況下,「零情況」會被視為一種「極限情況」,因此可以使用極限序數來證明。

超限遞歸

超限遞歸是一種構造或定義某種對象的方法,它與超限歸納的概念密切相關。例如,可以定義以序數為下標的集合序列 Aα ,只要指定三個事項:

  • 是什麼
  • 如何確定(又或者是從的部分)
  • 對於極限序數,如何確定的對於的序列。

更形式的說,我們陳述超限遞歸定理如下。給定函數類, , ,存在一個唯一的超限序列帶有 是所有序數的真類),使得

  • ,對於所有
  • ,對於所有極限序數 。這裏的是指上的限制。

注意我們要求, , 的定義域足夠廣闊來使上述性質有意義。所以滿足這些性質的序列的唯一性可以使用超限歸納證明。

更一般的說,你可以在任何良基關係上通過超限遞歸定義對象。(甚至不需要是集合;它可以是真類,只要它是類似集合的關係便可,也就是說:對於任何 ,使得的所有的搜集必定是集合。)

同選擇公理的聯繫

有一個常見的誤解是超限歸納法或超限遞歸法要求選擇公理。其實超限歸納可以應用於任何良序集合。但是常見的情況是使用選擇公理來良序排序一個集合,使其適用超限歸納法。

參見