阿基米德公理的示意圖
在抽象代數和分析學中,以古希臘數學家阿基米德命名的公理,是一些賦範的群、域和代數結構具有的一個性質,可表述如下:
對於任何正實數
及
,即使
多麼小,或是
多麼大,也必定存在自然數
,使得
。
這公理的粗略意義是,數字系統不存在具有無窮大或無窮小性質的元素。
這個概念源於古希臘對量的理論。由於它出現在阿基米德的《論球體和圓柱體》的公理五,1883年,奧地利數學家奧托·施托爾茨賦予它這個名字[1]。
在現代實分析中,這性質不是一個公理,而是退卻為實數具完備性的結果。基於這理由,常以性質的叫法取而代之。
此性質在現代數學中,仍然起着重要的作用,例如有關有序群、有序體和局部體的理論,以及大衛·希爾伯特的幾何公理系統。
形式敘述以及證明
解釋
簡單地說,阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句:
- 給出任何數,你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
- 給出任何正數,你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。
這等價於說,對於任何正實數
、
,如果
,則存在自然數
,有
![{\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ terms}}}>b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9f1e51e5a37d35bd147d7bada15db2b5947d9f)
與實數的完備性的關係
實數的完備性蘊含了阿基米德性質,證明利用了反證法:
假設對所有
,
(注意
表示
個
相加),令
,則
爲
的上界(
上方有界,依實數完備性,必存在最小上界,令其為
),於是
有
![{\displaystyle na<\alpha \Rightarrow (n+1)a<\alpha \Rightarrow na<\alpha -a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841301ded9711945c51104aa34d5e0325a2ab1c3)
得出
也是
的一個上界,這與
是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質,但阿基米德性質推不出實數的完備性,因為有理數滿足阿基米德性質,但並不是完備的。
參看
- ^ Weisstein, Eric W. (編). Archimedes Axiom. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2016-01-05]. (原始內容存檔於2021-04-29) (英語).