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霍普夫不變量

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數學特別是代數拓撲學中,霍普夫不變量(英語:Hopf invariant)是球面之間某些映射的一個同倫不變量。

歷史

1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行Clifford parallel英語Clifford parallel)構造了霍普夫映射 ,並通過利用圓周 對任意 環繞數(=1),證明了 是本質的,即不同倫於常值映射。隨後證明了同倫群 是由 生成的無限循環群。1951年,讓-皮埃爾·塞爾證明了對一個奇數維球面( 奇)有理同倫群 是零除非 i = 0 或 n。但對一個偶數維球面( 偶),在 次處多出一個無限循環同倫。對此有一種有趣的看法:

定義

是一個連續映射(假設 )。則我們可以構造胞腔復形

這裏 -維圓盤通過 貼上一個 。 胞腔鏈群 在度數 只是由 -胞腔自由生成,故它們在度數 0、,其餘都是零。胞腔(上)同調是該鏈復形的(上)同調,因為所有邊緣同態必然是零(注意到 ),上同調是

記這些上同調群的生成元為

因為維數原因,這些類之間的所有杯積除了 一定都是平凡的。從而作為一個環,上同調是

整數 是映射 霍普夫不變量

性質

定理 是一個同態。進一步,如果 是偶數,則 映到

對霍普夫映射霍普夫不變量是 (這裏 ,分別對應於實可除代數 ,而二重覆疊 將球面上的一個方向送到它生成的子空間)。只有這些映射的霍普夫不變量是 1,這是最先由弗蘭克·亞當斯Frank Adams英語Frank Adams)證明的一個定理,後來米高·阿蒂亞利用 K-理論重新給出了證明。

推廣到穩定映射

可以定義一種非常一般的霍普夫不變量概念,但需要一些同倫論知識預備:

表示一個向量空間而 是其單點緊化,即對某個 。如果 是任意帶基點的空間(在上一節中不明確),如果我們去無窮遠點 的基點,則我們可以構造楔積

現在令 是一個穩定映射,即在約化垂緯函子下穩定。 的(穩定)幾何霍普夫不變量

是從 映射的穩定 -等變同倫群中一個元素。這裏穩定意為「在垂緯下穩定」,即通常等變同倫群在 上(或 ,如果你願意)的正向極限;而 -作用是 的平凡作用與交換 中兩個因子。如果我們令 表示典範對焦映射而 是恆等,則霍普夫不變量由下式定義:

這個映射原本是從 的映射,但在正向極限之下它成為映射的穩定同倫 -等變群的典型元素。

也有一個非穩定版本的霍普夫不變量 ,為此我們必須考慮向量空間

參考文獻

  • Adams, J.F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. Math., 1960, 72: 20–104 
  • Adams, J.F.; Atiyah, M.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics, 1966, 17 (1): 31–38