餘切 性質 奇偶性 奇 定義域
{
x
∈
R
|
x
≠
k
π
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}
{
x
∈
R
|
x
≠
180
∘
k
,
k
∈
Z
}
{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} \right\}}
到達域 (-∞,+∞) 周期
π
{\displaystyle \pi }
特定值 當x=0 N/A 當x=+∞ N/A 當x=-∞ N/A 最大值 +∞ 最小值 -∞ 其他性質 漸近線
x
=
k
π
{\displaystyle x=k\pi }
x=180°k 根
k
π
+
π
2
{\displaystyle k\pi +{\tfrac {\pi }{2}}}
180°k +90° 不動點 當x軸為弧度時： k是一個整數 。
餘切 （英語：Cotangent ，一般記作
cot
{\displaystyle \cot }
三角函數 的一種，是正切 的餘角函數。它的定義域 是整個不等於
k
π
{\displaystyle k\pi }
180°k
k
{\displaystyle k}
值域 是整個實數集。它是周期函數 ，其最小正周期為
π
{\displaystyle \pi }
奇函數 。
餘切函數在各個小區間上單獨看為單調遞減 函數 ，和正切 互為倒數 ，其函數圖形 和正切 函數圖形 對稱 於
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
奇點
k
π
{\displaystyle k\pi }
180°k
k
{\displaystyle k}
整數 。
符號說明 餘切最早用符號tan.com表示，該符號同正切一樣，最初由T.芬克使用。後來人們又逐漸將該符號簡化為ctg，後來又改為cot，與現代符號完全相同。
定義 直角三角形中 直角三角形，
∠
C
{\displaystyle \angle C}
∠
A
{\displaystyle \angle A}
θ
{\displaystyle \theta }
∠
A
{\displaystyle \angle A}
在直角三角形 中，一個銳角 的餘切 定義為它的鄰邊與對邊的比值 ，也就是：
cot
θ
=
b
a
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {b} }{\mathrm {a} }}\,\!}
可以發現其定義和正切函數 互為倒數 。
直角坐標系中 設
α
{\displaystyle \alpha }
象限角 ，
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P\left({x,y}\right)}
r
=
x
2
+
y
2
>
0
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}
cot
α
=
x
y
{\displaystyle \cot \alpha ={\frac {x}{y}}}
單位圓定義 單位圓 圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向 的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點 的線 ，同 x 軸正半部分得到一個角
θ
{\displaystyle \theta }
y 。另原點為O 。做一直線，y 點，垂直於
O
y
¯
{\displaystyle {\overline {Oy}}}
交點 ，則此點與y 點之距離 為餘切比 值。
單位圓 上的餘切
單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度，產生斜邊等於 1 的無限數目個三角形 的一種方式。
對於大於
2
π
{\displaystyle 2\pi }
−
2
π
{\displaystyle -2\pi }
三角函數 變成了周期為
2
π
{\displaystyle 2\pi }
周期函數 ；但由於餘切是切線，再繞單位圓旋轉時，會出現周期是
π
{\displaystyle \pi }
π
{\displaystyle \pi }
周期函數 :
cot
θ
=
cot
(
θ
+
π
k
)
=
cot
(
θ
+
180
∘
k
)
{\displaystyle \cot \theta =\cot \left(\theta +\pi k\right)=\cot \left(\theta +180^{\circ }k\right)}
對於任何角度
θ
{\displaystyle \theta }
整數
k
{\displaystyle k}
級數定義 餘切函數也可以使用泰勒展開式 定義
cot
x
=
1
x
−
x
3
−
x
3
45
−
2
x
5
945
−
x
7
4725
−
2
x
9
93555
+
.
.
.
=
1
x
−
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
.
{\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-{\frac {2x^{9}}{93555}}+...={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.}
其中
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
伯努利數 。
另外，我們也有
cot
x
=
1
x
−
2
x
∑
n
=
1
∞
1
n
2
π
2
−
x
2
.
{\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}.}
cot 的微分 是負 csc 的平方
cot
′
x
=
−
csc
2
x
{\displaystyle \cot 'x\ =-\csc ^{2}x}
另外
∫
cot
x
d
x
=
ln
(
sin
x
)
{\displaystyle \int \cot x\,dx=\ln(\sin x)}
所以可以用
cot
x
=
(
ln
(
sin
x
)
)
′
{\displaystyle \cot x=(\ln(\sin x))'\,}
cot
θ
=
i
(
e
i
θ
+
e
−
i
θ
)
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {{\mathrm {i} }(e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta })}{e^{{\mathrm {i} }\theta }-e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}
恆等式 用其它三角函數來表示餘切
函數
sin
{\displaystyle \sin }
cos
{\displaystyle \cos }
tan
{\displaystyle \tan }
cot
{\displaystyle \cot }
sec
{\displaystyle \sec }
csc
{\displaystyle \csc }
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta }
1
−
sin
2
θ
sin
θ
{\displaystyle {{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta }}
cos
θ
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle {\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}
1
tan
θ
{\displaystyle {1 \over \tan \theta }}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta \ }
1
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle {1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}
和差角公式
cot
(
θ
±
ψ
)
=
cot
θ
cot
ψ
∓
1
cot
ψ
±
cot
θ
{\displaystyle \cot(\theta \pm \psi )={\frac {\cot \theta \cot \psi \mp 1}{\cot \psi \pm \cot \theta }}}
二倍角公式
cot
2
θ
=
cot
2
θ
−
1
2
cot
θ
=
1
cot
θ
−
1
−
1
cot
θ
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot 2\theta &={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\\&={\frac {1}{\cot \theta -1}}-{\frac {1}{\cot \theta +1}}\\\end{aligned}}}
半角公式
cot
θ
2
=
csc
θ
+
cot
θ
=
±
1
+
cos
θ
1
−
cos
θ
=
sin
θ
1
−
cos
θ
=
1
+
cos
θ
sin
θ
=
cos
θ
−
sin
θ
+
1
cos
θ
+
sin
θ
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta -\sin \theta +1}{\cos \theta +\sin \theta -1}}\end{aligned}}}
三倍角公式
cot
3
θ
=
cot
3
θ
−
3
cot
θ
3
cot
2
θ
−
1
{\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {\cot ^{3}\theta -3\cot \theta }{3\cot ^{2}\theta -1}}}
餘切定理 一個三角形。它的三個內角及其對邊。 餘切定理 是三角學 中關於三角形 內切圓 半徑的定理。
假設
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
ζ
=
1
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
s
{\displaystyle s}
那麼餘切 定理告訴我們：[1]
cot
α
2
=
s
−
a
ζ
{\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}}
cot
β
2
=
s
−
b
ζ
{\displaystyle \cot {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}}
cot
γ
2
=
s
−
c
ζ
{\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}}
還有
cot
α
2
s
−
a
=
cot
β
2
s
−
b
=
cot
γ
2
s
−
c
.
{\displaystyle {\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{s-c}}.}
總而言之：餘切定理就是某個角一半的餘切等於半周長減去這個角所對的邊長再除以三角形的內切圓半徑。
參見
參考資料
^ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
