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齊次函數

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數學中,齊次函數(英語:Homogenous)是一個有倍數性質的函數:如果變數乘以一個系數,則新函數會是原函數再乘上系數的某次方倍。

正式定義

假設內的兩個向量空間之間的函數。

我們說是「次齊次函數」,如果對於所有非零的,都有:

即是,在歐幾里得空間, 其中指數函數

例子

  • 線性函數是一次齊次函數,因為根據線性的定義,對於所有的,都有:
  • 多線性函數是n次齊次函數,因為根據多線性的定義,對於所有的都有:
  • 從上一個例子中可以看出,兩個巴拿赫空間之間的函數弗雷歇導數次齊次函數。
  • 單項式定義了齊次函數

例如:

是10次齊次函數,因為:

  • 齊次多項式是由同次數的單項式相加所組成的多項式。例如:

是5次齊次多項式。齊次多項式可以用來定義齊次函數。

基本定理

  • 歐拉定理:假設函數可導的,且是次齊次函數。那麼:

這個結果證明如下。記,並把以下等式兩端對求導:

利用複合函數求導法則,可得:

因此:

以上的方程可以用劈形算符寫為:

,定理即得證。

  • 假設是可導的,且是階齊次函數。則它的一階偏導數階齊次函數。

這個結果可以用類似歐拉定理的方法來證明。記,並把以下等式兩端對求導:

利用複合函數求導法則,可得:

因此:

所以

.

用於解微分方程

對於以下的微分方程

其中是同次數的齊次函數,利用變量代換,可以把它化為可分離變量的微分方程

參考文獻

  • Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 (德語). 

外部連結