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K-理論

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數學中,K-理論K-theory)是多個領域使用的一個工具。在代數拓撲中,它是一種異常上同調,稱為拓撲K-理論;在代數代數幾何中,稱之為代數K-理論;在算子代數中也有諸多應用。它導致了一類K-函子構造,K-函子包含了有用、卻難以計算的信息。

物理學中,K-理論特別是扭曲K-理論英語twisted K-theory出現在第二型弦理論,其中猜測它們可分類D-膜拉蒙-拉蒙場英語Ramond-Ramond field以及廣義複流形上某些旋量。具體細節參見K-理論 (物理)

早期歷史

這個課題最早由亞歷山大·格羅滕迪克1957年發現,名字取自德文Klasse」,意為「分類」class,進而表述為格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理[1]。格羅騰迪格需要在代數簇X上工作。不是直接在處理層,他給出了兩個構造。首先,他利用直和運算將層的交換么半群轉換成一個群通過取層的分類的形式和以及形式加法逆(這是得到給定函子左伴隨的明確方法)。在第二個構造中,他強加以與層擴張一致的額外關係,得到一個現在記作的群。這兩個構造都被稱為格羅滕迪克群英語Grothendieck group具有上同調表現而有同調表現。

如果是一個光滑簇,兩個群是相同的。

在拓撲學中,我們對向量叢有類似的和構造。米高·阿蒂亞弗里德里希·希策布魯赫在1959年使用格羅騰迪格群構造來定義拓撲空間(兩個構造一致)。這是在代數拓撲中發現的第一個奇異上同調理論的基礎。它在指標定理的第二證明中起了巨大的作用。此外,這種途徑導向了C*-代數非交換-理論。

在1955年,讓-皮埃爾·塞爾已經用具有投射模向量叢的類似物來表述塞爾猜想英語Quillen–Suslin theorem,該猜想聲稱一個域上多項式環上的投射模是自由模;這個論斷是正確的,但直到20年後才解決(斯旺定理英語Serre–Swan theorem是這個類比的另一方面)。1959年,塞爾給出了環的格羅騰迪克群構造,用它來證明投射模是穩定自由的。這個應用是代數K理論之開端。

發展

隨後一個時期,出現了各種類型的「高階K-理論函子」定義。最後,兩種有用的等價定義由丹尼爾·奎倫在1969年與1972年用同倫理論給出。另一種變體也由Template:弗里德海姆·瓦爾德豪森為了研究「空間的代數K-理論」提出,這與偽同痕的研究有關。大多數現代高階K-理論研究與代數幾何和Template:主上同調有關。

帶有一個輔助的二次型的相應構造具有一般名字L-理論。它是割補理論的主要工具。

弦理論中,拉蒙-拉蒙場強與穩定D-膜電荷的K-理論分類在1997年首次提出[2]

另見

參考文獻

註釋