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如何證明$10^{2^{7}}+1$是$2^{2^{3}}+1$的倍數？謝謝回答！

因为$2^{2^{3}}+1=65$，所以其尾数是5；

因为$10^{2^{7}}$的尾数是0，所以$10^{2^{7}}+1$的尾数是1；

所以$10^{2^{7}}+1$不是$2^{2^{3}}+1$的倍数。

閣下弄錯了。題目是$2^{2^{3}}+1$，不是$2^{2\times 3}+1$。

2的2次方是4，4的3次方64，64加1等于65，有什么不对吗

多重乘冪規定是由上算到下的。

$2^{2^{3}}=2^{\left(2^{3}\right)}\neq \left(2^{2}\right)^{3}$，亦即$2^{2^{3}}=2^{8}=256$；同理$10^{2^{7}}=10^{128}\neq 100^{7}$。

請參考運算次序#連續乘冪或冪#运算律。

也就是說，我的問題是，證明$10^{128}+1$是$257$的倍數。閣下有興趣試試嗎？

欧拉准则:$10^{128}\equiv \left({\frac {10}{257}}\right){\pmod {257}}$

所以就是說，10¹²⁸模257，不是餘1就是餘(-1)；若10是模257的二次剩餘就餘1，若10是模257的非二次剩餘就餘(-1)？

嗯嗯

那麼閣下如何知道10是不是模257的二次剩餘呢？像條目敘述的，去計算10¹²⁸除以257的餘數是1或(-1)嗎？

勒让德符号有說如何計算$\left({\frac {10}{257}}\right)$