数学中的伯努利不等式指出:对任意整数
,和任意实数
有:
;
如果
且是偶数,则不等式对任意实数
成立。
可以看到在
,或
时等号成立,而对任意正整数
和任意实数
,
,有严格不等式:
。
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
证明和推广
伯努利不等式可以用数学归纳法证明:当
,不等式明显成立。假设不等式对正整数
,实数
时成立,那么
![{\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239b3d12b6e45c51cc02c006420a430e7e9d8109)
。
下面是推广到实数幂的版本:如果
,那么:
- 若
或
,有
;
- 若
,有
。
这不等式可以用导数比较来证明:
当
时,等式显然成立。
在
上定义
,其中
,
对
求导得
,
则
当且仅当
。分情况讨论:
,则对
,
;对
,
。因此
在
时取最大值
,故得
。
或
,则对
,
;对
,
。因此
在
时取最小值
,故得
。
在这两种情况,等号成立当且仅当
。
相关不等式
下述不等式从另一边估计
:对任意
,都有
。
我们知道
(
),因此这个不等式是平凡的。