切丛

数学上，一个微分流形M的切丛(tangent bundle) T(M)是一个由M各点上切空间组成的向量丛，其总空间是各切空间的不交并：

T(M)=\coprod _{x\in M}T_{x}(M).

总空间T(M)每个元素都是一个二元组(x,v)，其中v是在点x的切空间T_x(M)内的一枚向量。切丛有自然的2n维微分流形结构如下：

设： $\pi \colon T(M)\to M\,$ 为自然的投影映射，将(x,v)映射到基点x；若M是个n维流形，U是x的一个足够小的邻域， φ :U→Rⁿ是一个局部坐标卡， V是U在T(M)的前象V（ $V=\pi ^{-1}(U)\,$ )），则存有一个映射ψ : V → Rⁿ × Rⁿ：ψ(x, v) = (φ(x), dφ(v)). 这个映射定义了T(M)的一个坐标图。

背景知识见微分流形条目。

拓扑和光滑结构

切丛带有一个自然的拓扑（不是不交并拓扑（disjoint union topology））以及微分结构，使得它自己成为一个流形。T(M)的维数是M的两倍。

每个n维向量空间的切空间是一个n维向量空间。那么作为一个集合，T(M)和M × Rⁿ同构。但作为一个流形，T(M)并不总是和积流形M × Rⁿ微分同胚。这在切丛是平凡的时候是真的。就象流形局部由欧几里得空间构造一样，切丛局部构造在M × Rⁿ上。

若M是一个n维流形，则它有一个图册（U_α, φ_α）其中U_α是M中开集而

\phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}

是一个同胚。U上的这些局部坐标对于每个x ∈ U给出了T_xM和Rⁿ之间的一个同构。我们然后可以定义一个映射

{\tilde {\phi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{2n}

这是通过下式完成的

{\tilde {\phi }}_{\alpha }(x,v^{i}\partial _{i})=(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n})

我们用这些映射来定义T(M)上的拓扑和光滑结构。T(M)的子集A是开的当且仅当对于每个α， ${\tilde {\phi }}_{\alpha }(A\cap U_{\alpha })$ 在R²ⁿ中是开的。这样这些映射是T(M)的开子集和R²ⁿ的同胚，所以可以作为T(M)的光滑结构的坐标图。坐标图定义域的交集 $\pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ 上的变换函数用相关的坐标变换的雅可比矩阵引出，所以是R²ⁿ的开子集间的光滑映射。

切丛是称为向量丛（自己是纤维丛的特例）的更一般的构造的特例。直接一点的说，n维流形M的切丛可以定义为一个M上的n阶向量丛，其变换函数由相应的坐标变换的雅可比矩阵给出。

向量场

向量场是切丛的截面。

局部向量场

局部向量场是切丛的局部截面。

向量场的层

所有局部向量场的集合构成一个层（sheaf）。

参见

外部链接

MathWorld: Tangent Bundle （页面存档备份，存于互联网档案馆）
PlanetMath: Tangent Bundle（页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2
Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.