在信号处理中,匹配滤波器可以用来解调基频带脉冲信号,基频带脉冲信号意指信号内容为同一波形信号乘上一个常数,在每个周期出现,每个周期中代表着或多或少的信息量。匹配滤波器解调出来的结果其SNR (Signal Noise Ratio)为最大的,匹配滤波器需要事先知道
1.传送的信号
2.信号的同步
才能解调出传送的信号。
此外,匹配滤波器也可用于模式识别 、相似度测试(similarity measure)。
最高SNR证明
假设
g(t):传送信号
w(t):可加性高斯白噪声
x(t) = g(t) + w(t)
h(t):未知波形
y(t):解调结果
SNR = 信号瞬间功率 / Noise平均功率
信号瞬间功率
噪声平均功率
4. 当
,
所以
(备注) 柯西-施瓦茨不等式
若
且
则
当
时,等号成立。
匹配滤波器频率响应
如果我们限制分母为1, 最大化
的问题可以被简化为最大化分子.
于是可以使用 拉格朗乘数
![{\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }R_{v}h=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f54e23fe7fe78ad7bf2fd34dc69a9abff1bc1c0)
![{\displaystyle \ {\mathcal {L}}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h+\lambda (1-h^{\mathrm {H} }R_{v}h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec9ed2ee95f5734375fc1daa27f913bbd01505a)
![{\displaystyle \ \nabla _{h^{*}}{\mathcal {L}}=ss^{\mathrm {H} }h-\lambda R_{v}h=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8e9ffa07b199c0285a8f1c841f7c142589e524)
![{\displaystyle \ (ss^{\mathrm {H} })h=\lambda R_{v}h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf23311a8d353ea34890309ee8ad410ff264d79)
![{\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }(ss^{\mathrm {H} })h=\lambda h^{\mathrm {H} }R_{v}h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45e89ca430bbd8fdf18997c1d37b045131b7d57)
因为
是一维, 他只有一个非零特征值. 此特征值=
![{\displaystyle \ \lambda _{\max }=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4364934f29c7ff6a86e6e9be20d53940bcca2037)
![{\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9756854fd8aa7ba14e68741245af51c5257e420b)
匹配滤波器模式辨识
若欲侦测一特定信号 h[n],我们可以将h[n]时域反向并取共轭,当做滤波器。
一维信号
![{\displaystyle y[n]=x[n]*h^{*}[-n]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n-\tau ]h^{*}[-\tau ]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a7dbbc70a987baf2e472740df7bff3c0f0e948)
- x[n] :数入信号 ,h[n]:欲侦测的特定信号,且假设当
时, h[n]≠0
二维信号
![{\displaystyle y[m,n]=x[m,n]*h^{*}[-m,-n]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{\rho =\rho _{1}}^{\rho _{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba48765c4ffe20ac3dceff7d138713c917df02c)
- 假设当
时, h[m,n]≠0
模拟结果:
未标准化而造成的计算误差 y[n] = x[n]*h*[-n]
|
但由于卷积是线性的,当信号能量大,算出来的值也会跟着变大而有误差,因此我们需要标准化。
标准化公式
一维信号
当
≠0
![{\displaystyle y[n]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ea43c9521aa2e1f0b0de58079a66c6cf291075)
![{\displaystyle {\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]} \over {\sqrt {\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}\sum _{s=\tau _{1}}^{\tau _{2}}|h[s]|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abda2bd785b51d85e4cf4de8581a8b5dd9d5a020)
当
=0
![{\displaystyle y[n]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ea7af29dc141b92b8c17e52eaad64e2133fe2a)
二维信号
当
≠0
![{\displaystyle y[m,n]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96d76762c96bef1277001accf2d1ba8020c3c2a)
![{\displaystyle {\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{\rho =\rho _{1}}^{\rho _{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]} \over {\sqrt {\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}\sum _{s=\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{v=\rho _{1}}^{\rho _{2}}|h[s,v]|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781fdf084ee49f0618035845cb3484a880f869f1)
当
= 0
![{\displaystyle y[m,n]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ca8bc3099515d601c048ef9b1576c34e83c38d)
标准化后的模拟结果:
标准化后可减少计算误差
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参考文献
- Haykin,S. / Moher,M. Haykin: Communication Systems 5/E (中文).
- Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.
参见