威尔逊定理

威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1771年由拉格朗日首次证明。

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为质数的充分必要条件。即：当且仅当$p$为质数时：

$(p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ p)$

证明

充分性

如果 $p$ 不是质数，那么它的正因数必然包含在整数 $2,3,4,\cdots ,p-1$ 中，因此 $\gcd((p-1)!\ ,p)>1$ ，所以不可能得到 $(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$。

必要性

若$p$是质数，取集合 $A=\left\{1,2,3,...p-1\right\}$， 则$A$构成模$p$乘法的缩系，即任意 $i\in A$，存在 $j\in A$，使得：

$(ij)\ \equiv \ 1{\pmod {p}}$

这几乎说明$A$中的元素恰好两两配对。仅有满足

$x^{2}\ \equiv \ 1{\pmod {p}}$

的元素$x$是例外。

上式解得

$x\ \equiv \ 1{\pmod {p}}$

或

$x\ \equiv \ p-1{\pmod {p}}$

其余两两配对，故而

$(p-1)!\ \equiv \ 1\times (p-1)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.$

若$p$不是质数且大于4， 则易知有$d=\gcd[p,(p-1)!]=p,$

故而

$(p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.$

推论

可以借此推论$(p-2)!\equiv 1{\pmod {p}}$如下：

$(p-2)!\equiv -(p-1)(p-2)!\equiv -(p-1)!\equiv 1{\pmod {p}}$