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序列紧

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数学上, 若一个拓扑空间里,每个无穷序列都有收敛子序列,则称该拓扑空间序列紧(英语:sequentially compact)。 虽然对于度量空间等价于序列紧,但是对于一般的拓扑空间来说,(英语:compact)和序列紧是两个不等价的性质。

例子和性质

实数轴上的标准拓扑不是序列紧的,例如 (sn = n) 便是一个没有收敛子序列的序列。但由波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理可知所有上的闭区间导出的子空间拓扑都是序列紧的。

对于度量空间,序列紧与紧等价。[1] 然而,一般情况下,存在序列紧而非紧的拓扑空间,比如具有序拓扑首个不可数序数,也存在紧而非序列紧的拓扑空间,比如由 多个单位闭区间组成的积空间[2]

有关概念

  • 若拓扑空间 X 的任意无穷子集都有一个极限点X 中,则称 X聚点紧的。
  • 若拓扑空间 X 的任意可数开覆盖都有一个有限子覆盖,则称 X可数紧的。

对于度量空间,序列紧、聚点紧、可数紧、紧都是互相等价的性质。[3]

对于序列空间,序列紧与可数紧等价。[4]

单点紧化的构想是,在拓扑空间中加入一点,然后要求所有无收敛子序列的序列都收敛到该额外的点。 [5]例如实数轴的单点紧化,它令所有在标准拓扑不收敛的序列收敛至额外的点,该点又称为无穷远点

相关条目

参考来源

  1. ^ Willard, 17G, p. 125.
  2. ^ Steen and Seebach, Example 105, pp. 125—126.
  3. ^ Munkres, p. 179-180.
  4. ^ Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31
    K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon)
  5. ^ Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

参考书目

  • Munkres, James. Topology 2nd. Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-181629-2. 
  • Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
  • Willard, Stephen. General Topology. Dover Publications. 2004. ISBN 0-486-43479-6.