惯性波

惯性波，也称为惯性振荡、惯性内波，是一种可能出现在旋转流体中的机械波。与通常在海滩或浴缸中看到的表面重力波不同，惯性波流过流体内部，而不是表面。与任何其他类型的波一样，惯性波是由恢复力引起的，并以其波长和频率为特征。因为惯性波的恢复力是科里奥利力，它们的波长和频率以一种特殊的方式相关。惯性波是横向的。最常见的是在大气、海洋、湖泊和实验室实验中观察到它们。罗斯贝波、地转流和地转风是惯性波的例子。惯性波也可能存在于旋转地球的熔融核心中。

恢复力

惯性波通过科里奥利力恢复平衡，这是旋转的结果。准确地说，科里奥利力（与离心力一起）出现在旋转框架中，以解释这样一个框架总是在加速的事实。因此，惯性波没有旋转就无法存在。科里奥利力比绳子上的张力更复杂，与运动方向成 90° 角，其强度取决于流体的旋转速度。这两个性质导致了惯性波的特殊特性。

特征

惯性波只有在流体旋转时才有可能，并且存在于流体的主体中，而不是在其表面。像光波一样，惯性波是横向的，这意味着它们的振动垂直于波的传播方向发生。惯性波的一个独特的几何特征是它们的相速度，它描述了波的波峰和波谷的运动，垂直于它们的群速度，它是能量传播的量度。

尽管任何频率的声波或电磁波都是可能的，但惯性波只能存在于从零到流体旋转速度两倍的频率范围内。此外，波的频率取决于其传播方向。垂直于旋转轴传播的波的频率为零，有时称为地转模式。平行于轴传播的波具有最大频率（旋转速度的两倍），中间角度的波具有中频。在自由空间中，惯性波可以以介于 0 到两倍旋转速率之间的任何频率存在。然而，一个封闭的容器可以对惯性波的可能频率施加限制，就像对任何类型的波一样。封闭容器中的惯性波通常称为惯性模式。例如，在球体中，惯性模式被迫采用离散频率，从而在不存在模式的地方留下间隙。

惯性波的例子

任何一种流体都可以支持惯性波：水、油、液态金属、空气和其他气体。惯性波最常见于行星大气（罗斯贝波、地转风）以及海洋和湖泊（地转流）中，它们负责大部分发生的混合。受海底坡度影响的惯性波通常称为罗斯贝波。惯性波可以在实验室实验或流体旋转的工业流中观察到。惯性波也可能存在于地球的液态外核中，并且至少有一组[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）声称存在它们的证据。同样，惯性波也可能出现在旋转的天文流中，如恒星、吸积盘、行星环和星系。

数学描述

流体流动由Navier-Stokes 动量方程控制。流速 ${\vec {u}}$ 具有粘性的流体 $\nu$ 在压力之下 $P$ 并以速率旋转 $\Omega$ 随时间变化 $t$ 根据

{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}P+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}-2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}.

右侧的第一项说明压力，第二项说明粘性扩散，动量方程（上图）右侧的第三项（最后一项）是科里奥利项。

准确地说， ${\vec {u}}$ 是在旋转参考系中观察到的流速。由于旋转参考系正在加速（即非惯性系），因此这种坐标变换会产生两个附加（伪）力（如上所述）：离心力和科里奥利力。在上面的等式中，离心力作为广义压力 $P$ 的一部分，即 $P$ 与平时的压力 $p$ 有关， $p$ 取决于与旋转轴的距离 $r$ ，有下面的关系式：

P=p+{\frac {1}{2}}\rho r^{2}\Omega ^{2}.

在旋转速度大的情况下，科里奥利力和离心力与其他项相比变大。相比之下，扩散和“对流导数”（左侧第二项）可以忽略不计。取两边的旋度并应用一些向量恒等式，结果得：

{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}.

该方程的一类解是满足两个条件的波。首先，如果 ${\vec {k}}$ 是波矢量，

{\vec {u}}\cdot {\vec {k}}=0,

也就是说，波必须是横向的，如上所述。第二，解需要频率 $\omega$ 满足色散关系

\omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },

其中 $\theta$ 是旋转轴与波的方向之间的角度。这些特定的解被称为惯性波。

色散关系看起来很像动量方程中的科里奥利项——注意旋转速率和常系数2，它直接暗示了惯性波的可能频率范围，以及它们的频率对其方向的依赖性。

延伸阅读

Aldridge, K. D.; I. Lumb. Inertial waves identified in the Earth's fluid outer core. Nature. 1987, 325 (6103): 421–423. Bibcode:1987Natur.325..421A. S2CID 4312055. doi:10.1038/325421a0.
Greenspan, H. P. The Theory of Rotating Fluids. Cambridge University Press. 1969.
Landau, L. D.; E. M. Lifschitz. Fluid Mechanics, Second Edition. New York: Elsevier. 1987. ISBN 978-0-7506-2767-2.