在泛函分析此一数学分支里,有界线性算子是指在赋范向量空间X 及Y 之间的一种线性变换L,使得对所有X 内的非零向量v,L(v) 的范数与v 的范数间的比值会局限在相同的数字内。亦即,存在一些M > 0,使得对所有在X 内的v,
![{\displaystyle \|Lv\|_{Y}\leq M\|v\|_{X}.\,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df2976c16b86511fd3837fc83d7df271f26edfe)
其中最小的M 称为L 的算子范数。
。
有界线性算子一般不会是有界函数;后者需要对所有的v,L(v)的范数是有界的,但这只有在Y 为零向量空间时才有可能。然而,有界线性算符为局部有界函数。
一个线性算子为有界的,当且仅当其为连续的。因此有界线性算子也被称为连续线性算子。
例子
- 任何在两个有限维度赋范空间之间线性算符皆是有界的,且此类算符可以被视为某些固定矩阵的乘积。
- 许多积分变换为有界线性算符。例如,设
![{\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to {\mathbf {R} }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723f2e4e4151a2efb9a4c41f4aba3da5dcbc5e5d)
- 为一连续函数,则算符L
![{\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a64546a9eedf7da4443ea1c63759313a37a894)
- (定义于由在
上的连续函数所组成的空间
,赋予空间
均匀范数的值)是有界的。此一算符实际上也是紧致的。紧致算符在有界算符中是很重要的一类。
![{\displaystyle \Delta :H^{2}({\mathbf {R} }^{n})\to L^{2}({\mathbf {R} }^{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6bfc99c34e25d34f15cb5338fa3ed0f9f2070c)
- (其定义域为索伯列夫空间,值域在由平方可积函数所组成的空间内)是有界的。
- 在由所有实数序列(x0, x1, x2...)(其中
)所组成的l2 空间上的位移算符
![{\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea05a990689d8f5917c9abc9c62ef5e50e3ae40d)
- 是有界的。其算符范数可轻易地看出为1。
有界和连续的等价
如开头所述,在赋范空间X 及Y间的线性算子L 是有界的,当且仅当其为连续线性算子。证明如下:
- 设L 是有界的,则对X内的所有向量v 及h(其中的h不为零),会有
。
- 令
趋近于零,即可证明L 在v 是连续的。甚至,因为常数M 不依赖v,可证明L 实际上是均匀连续的(更甚之,还是利普希茨连续的)。
- 反过来,在零向量的连续性,允许存在一个
,使得对所有X 内
的向量h,
。因此,对所有'X 内的非零向量v,会有
![{\displaystyle \|Lv\|=\left\Vert {\|v\| \over \delta }L\left(\delta {v \over \|v\|}\right)\right\Vert ={\|v\| \over \delta }\left\Vert L\left(\delta {v \over \|v\|}\right)\right\Vert \leq {\|v\| \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|v\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c8960576e93f1520e4650513fdbc3e1909267e)
- 这证明了L 是有界的。
参考资料
- Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989
参见