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泊肃叶定律

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让·泊肃叶

泊肃叶定律(英语:Poiseuille's law[1]也称为泊谡叶方程帕醉定律哈根-泊肃叶定律Hagen-Poiseuille's law)、哈根-帕醉方程Hagen-Poiseuille's equation),是描述流体流经细管(如血管和导尿管等)所产生的压力损失,压力损失和体积流率、动黏度和管长的乘积成正比,和管径的四次方成反比例。此定律适用于不可压缩、不具有加速度层流稳定且长于管径的牛顿流体。泊肃叶定律是让·泊肃叶英语Jean Léonard Marie Poiseuille于1838年和戈特希尔夫·哈根英语Gotthilf Hagen于1838和1839年分别实验独立发现的,并于1840年和1846年发表。

泊肃叶定律的应用前提有七:

  1. 假设液体是不可压缩流体
  2. 假设液体是牛顿流体,即它的粘滞系数不随流速而改变;
  3. 假设液体的流动是层流,而不是湍流,即管的直径不能太大。
  4. Fully Develop,液体在管内速度场为全展开
  5. Steady state, 稳定流态
  6. Circular pipe, 流体在圆形管内流动
  7. 忽略End effect 终端效应

公式

标准流体力学的表示法

以下是用标准流体力学表示法下的泊肃叶定律:[2][3]

其中

是压力损失
是细管长度
黏度
体积流率
半径
直径

物理表示法

其中的单位如下,单位则是以相容的单位为主(例如国际单位制

是体积流率(标准流体力学表示法中的
是流过的液体体积函数,参数为时间
是沿着细管的平均流体速度
是沿着流体流动方向的距离
是细管的内半径
是细管两端的压力损失
动黏度,SI制单位为Pa·s
是细管的长度

此公式在细管进口段的误差较大[4]:3

此公式不适用在低黏度、短管、宽管或流体流速高的条件下。低黏度、高流速或宽管的条件会产生紊流,导致该流体的压力差较此定律所预测的值为大。因此需要用到像是达西-韦史巴赫方程之类较复杂的模型。若管子太短,泊肃叶定律会计算出不实际的高体积流率。此公式所计算出的流体流率,被限制在较宽松条件的伯努利定律结果之内:

推导

管子中的层流,其速度分布呈抛物线

泊肃叶定律可以由纳维-斯托克斯方程推导而来,但若已知管子中的层流,其速度分布呈抛物线[5]

在相同直径处的速度也会相同,因此将相同直径处的流体视为一薄层,流过薄层流体的体积流量等于速度乘以薄层的截面积:

再将上述的量对半径r积分,即可得到总流量。

和达西-韦史巴赫方程的关系

泊肃叶定律不只是有关压力损失和流速的公式,也和管子中的层流,其速度分布呈抛物线有关[5]。不过只要推定紊流下的有效紊流黏度,也可以将上述压力损失的公式延伸到紊流的情形,即使紊流速度分布已不呈抛物线也没关系。在层流和紊流的情形下,压力损失都和管壁的应力有关,由管壁应力可以定义所谓的摩擦因数。在水力学的领域中,管壁应力可以用达西-韦史巴赫方程求得,其中摩擦因数表示为和雷诺数和其他物理量的函数。若在层流的情形下:

其中

为摩擦因数
雷诺数
为流体密度
为平均流体速度,在层流的情形下会是最大流体速度的一半

上述式子用平均流体速度来定义雷诺数,因此其实用性提高。因为在紊流其最大流体速度很难计算。此公式可以近似达西摩擦因数。是圆型管子下流速很低的层流下的摩擦因数。韦德曼(Wiedman)曾在1856年独立的进行和此定律型式稍微不同的定律的推导,诺伊曼和哈根巴赫(E. Hagenbach)也曾在1858年推导过型式不完全一様的定律。哈根巴赫是第一个称此定律为泊肃叶定律的人。

泊肃叶定律在生理学中的血液流变学血液动力学英语hemodynamics中非常的重要[6]

1891年时L. R. Wilberforce以哈根巴赫的研究为基础,将泊肃叶定律扩展到紊流的领域中。

可压缩流体下的泊肃叶定律

若管中的是可压缩流体,其体积流率及线速度会延著管子变化。流体一般会以出口处的压力来表示,当流体压缩或是膨胀时,流体会作功,温度可能上升或是下降,因此流体流率和流体与外界的热交换有关。若是在等温过程下的理想气体,也就是气体温度和外界平衡时,而且管子两端的压力差很小时,其出口处的体积流率可以表示如下式:

其中

为入口压力
为出口压力
为管长
动黏度
半径
为出口处的流体体积
为出口处的流体速度

当流体的马赫数小于0.3时,可以用上式近似实际的体积流率。

上式可以视为是增加一修正系数的泊肃叶定律,修正系数是考虑平均压力相对于出口压力的比例。

和电路的类比

电子一开始也是当作一种流体来了解,水力类比英语hydraulic analogy的概念在了解电子电路上仍十分有用。这种类比方式也用来研究流体机械网络的频率响应,其中流体机械网络会以液压回路英语hydraulic circuit来表示。

泊肃叶定律对应电路中的欧姆定律),其中压力差对应电压,而体积流率对应电流,则以下的物理量对应电阻

一个管子的有效阻力和半径倒数的四次方成正比,因此管子的半俓减半会使管子的阻力变为原来的16倍。

欧姆定律和泊肃叶定律都是对于输运现象的描述。

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参考文献

  1. ^ Sutera, S P; Skalak, R. The History of Poiseuille's Law. Annual Review of Fluid Mechanics. 1993-01, 25 (1): 1–20. ISSN 0066-4189. doi:10.1146/annurev.fl.25.010193.000245. 
  2. ^ Kirby, Brian. Preface. Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. : xv–xvi. ISBN 978-0-511-76072-3. 
  3. ^ Bruus, Henrik. Theoretical microfluidics. Oxford Univ. Press. 2011. ISBN 978-0-19-923509-4. OCLC 753178868. 
  4. ^ Vogel, Steven, author. Life in Moving Fluids : The Physical Biology of Flow - Revised and Expanded Second Edition. ISBN 0-691-21297-X. OCLC 1158109140. 
  5. ^ 5.0 5.1 層流與擾流. [2014-01-07]. (原始内容存档于2014-01-07). 
  6. ^ Determinants of Resistance to Flow (Poiseuille's Equation). CV Physiology. [2020-09-29]. (原始内容存档于2021-01-18).