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测地曲率

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测地曲率:设P是曲线(C)上一点,是(C)在P点的单位切向量,是主法向量,是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命

曲线(C)在P点的曲率向量上的投影(也就是在S上P点的切平面上的投影)

称为曲线(C)在P点的测地曲率。


相关命题

  • 曲面S上的曲线(C),它在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C')的曲率。

式中,k为曲线在P点的曲率,为曲线在P点的法曲率

二维曲面常用的测地曲率公式

今有一紧致定向的二维曲面S,其线元素可用曲面第一基本形式的系数表示为:,则其度量张量可表成下列关系式:

每当进行涉及到微分几何的实用演算时,都会用到其分量形式以利细部计算,因此有必要将前述向量形式定义的测地曲率以其分量形式来表征,以下将界定在二维曲面上局部范围,有关公式及其推导过程,可于列出的相关参考文献中找到。

二维曲面测地曲率之Beltrami公式

为曲面S上的一正则曲线,在此曲线上以其弧长为参数,则曲线的参数方程式为,则它在P点的测地曲率可表为下列克氏符号(全称克里斯多福符号Christoffel symbols)相关的表示式[1] [2] [3]

上述用克式符号表示测地曲率的一般公式即是所谓的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)[4]。这里所用的克氏符号 Γk
ij
在有些书籍还会沿用旧式的 {k
ij
}
符号注记。由于克式符号属曲面的内蕴性质,而上述测地曲率一般公式只和克式符号曲面第一基本形式有关,因此,测地曲率必然是属曲面的内蕴几何[5]

今若曲线是沿着座标线的话,此时常数,使得以及,那么其测地曲率可算得为:

同理,假如曲线是沿着座标线的话,使得常数,因此以及,那么其测地曲率可化简为:

二维曲面测地曲率之Liouville公式

为曲面S上的一正则曲线,在此曲线上以其弧长为参数,则曲线的参数方程式为,今其参数化是采正交座标系,换言之,第一基本形式的系数,又令曲线在P点与座标线的夹角为,则它在P点的测地曲率可表为下列与夹角相关的Liouville公式[6] [7] [8]


上述公式中的乃分属于两个座标线对应的测地曲率,至于它们的具体表征是什么,接下来将分别推导出其详细内容。首先,考量如若曲线是沿着座标线的话,此时常数,则有以及,那么该测地曲率可算得为:

同理,假如曲线是沿着座标线的话,此时常数,导致以及,那么此测地曲率可算得为:

以上测地曲率之Liouville公式就已列出有三种,若觉得怎么会有这么多样形式,其实还有其他变形,例如可参考网络上更加精简且优美的形式[9],这端赖解析问题时,需要配套什么形式的公式而定。



参考文献

  1. ^ Kreyszig, Erwin. Differential Geometry. Dover Publications, New York. 1991: 154-156. ISBN 978-0-486-66721-8. 
  2. ^ Patrikalakis, Nicholas M.; Maekawa, Takashi. Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing. Springer, New York. 2002: 266-268. ISBN 978-3-642-04073-3. 【推导过程见MIT线上开放课程 §10.2.1. Parametric surfaces】页面存档备份,存于互联网档案馆
  3. ^ Blaga, Paul A. Lectures on the Differential Geometry of Curves and Surfaces. Napoca Press, Cluj-Napoca, Romania. 2005: 177-179. ISBN 9736568962. 
  4. ^ Nayak, Prasun Kumar. Textbook of Tensor Calculus and Differential Geometry. PHI Learning Pvt. Ltd., New Delhi. 2011: 364,369. 
  5. ^ Slobodyan, Yu.S., Geodesic curvature, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 1989, ISBN 978-1-55608-010-4 
  6. ^ do Carmo, Manfredo P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall. 1976: 253-254. ISBN 0-13-212589-7. 
  7. ^ Gray, Alfred; Abbena, Elsa; Salamon, Simon. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition. Chapman & Hall/CRC. 2006: 904-905. ISBN 978-1584884484. 
  8. ^ Dube, K.K. Differential Geometry and Tensors. I. K. International Pvt Ltd. 2009: 200-201. ISBN 978-9380026589. 
  9. ^ Sigurd Angenent. A note and two problems on Liouville's formula.页面存档备份,存于互联网档案馆) 这是介绍测地曲率之Liouville公式更加精简形式的文件。