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自守形式

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数学上所谓的自守形式(英语:Automorphic form),是一类特别的复变数函数,并在某个离散变换群下满足由自守因子描述之变换规律。模形式马斯形式是其特例。由自守形式可定义自守表示,严格言之,自守表示并非寻常意义下的群表示,而是整体赫克代数上的模。

庞加莱在1880年代曾研究过自守形式,他称之为富克斯函数郎兰兹纲领探讨自守表示与数论的深入联系。

古典定义

为作用于复区域 的离散群。取定自守因子 。相应的权 自守形式 上满足下述函数方程全纯函数

自守因子 固定时是 上的全纯函数,并且是 上的 1-闭上链

定义中的复值函数 可推广成取值为矩阵的函数;权 的限制亦可放松,例如半整数

群上的定义

自守形式另有群表示理论的诠释,并牵涉数论,但无法完全涵摄古典定义。为简单起见,以下设 ,其中心可等同于

考虑整体域 (例如 ),由此定义 阿代尔点 ,赋予相应的拓扑结构,并取定标准的紧子群

固定一拟特征 。以 中心特征的自守形式定为 上满足下列条件的复值函数

  1. 光滑:若 函数域,这代表 是局部常数函数。否则意谓存在一组 开覆盖 ,对每个 ,而 无穷可微。
  2. 对任何 及任何 ,总有
  3. -有限:函数 张成有限维向量空间。
  4. 承上,设 泛包络代数 之中心,则 -有限。
  5. 缓增性:固定适当的高度函数 (取法不影响定义),存在常数 使得

注记.阿基米德赋值,条件二中张出的空间在李代数 的作用 下不变。条件三蕴含自守形式对阿基米德赋值是解析函数

若对所有 皆有

则称 尖点形式

自守表示

定义 为中心特征为 的自守形式集,子空间 则为尖点形式集。

这两个空间是有限阿代尔群 的表示;对阿基米德赋值则带有 -模结构。此套结构可以概括为整体赫克代数 的表示。注意:它们并非 的表示!

一个自守表示-模 子商 称作该自守表示的中心拟特征。尖点自守表示 之子空间。

参考文献