在量子力学里,角动量算符(英语:angular momentum operator)是一种算符,类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋转对称性(rotational symmetry)的理论里,角动量算符占有中心的角色。角动量,动量,与能量是物体运动的三个基本特性[1]。
简介
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系统里,如同能量和动量,角动量是守恒的。在量子力学里,角动量算符的概念是必要的,因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数,而不是经典地实现于一点或一刚体。在量子尺寸世界,分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其概率性行为,而不是命定性(deterministic)行为。
数学定义
在经典力学里,角动量
定义为位置
与动量
的叉积:
。
在量子力学里,对应的角动量算符
定义为位置算符
与动量算符
的叉积:
。
由于动量算符的形式为
。
角动量算符的形式为
。
其中,
是梯度算符。
角动量是厄米算符
在量子力学里,每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。角动量是一个可观察量,所以,角动量算符应该也是厄米算符。让我们现在证明这一点,思考角动量算符的 x-分量
:
。
其伴随算符
为
。
由于
、
、
、
,都是厄米算符,
。
由于
与
之间、
与
之间分别相互对易,所以,
。
因此,
是一个厄米算符。类似地,
与
都是厄米算符。总结,角动量算符是厄米算符。
再思考
算符,
。
其伴随算符
为
。
由于
算符、
算符、
算符,都是厄米算符,
。
所以,
算符是厄米算符。
对易关系
两个算符
与
的交换算符
,表示出它们之间的对易关系。
角动量算符与自己的对易关系
思考
与
的交换算符,
。
由于两者的对易关系不等于 0 ,
与
彼此是不相容可观察量。
与
绝对不会有共同的基底量子态。一般而言,
的本征态与
的本征态不同。
给予一个量子系统,量子态为
。对于可观察量算符
,所有本征值为
的本征态
,形成了一组基底量子态。量子态
可以表达为这基底量子态的线性组合:
。对于可观察量算符
,所有本征值为
的本征态
,形成了另外一组基底量子态。量子态
可以表达为这基底量子态的线性组合:
。
根据哥本哈根诠释,量子测量可以用量子态坍缩机制来诠释。假若,我们测量可观察量
,得到的测量值为其本征值
,则量子态概率地坍缩为本征态
。假若,我们立刻再测量可观察量
,得到的答案必定是
,量子态仍旧处于
。可是,假若,我们改为测量可观察量
,则量子态不会停留于本征态
,而会坍缩为
的本征态。假若,得到的测量值为其本征值
,则量子态概率地坍缩为本征态
。
根据不确定性原理,
。
的不确定性与
的不确定性的乘积
,必定大于或等于
。
与
之间,
与
之间,也有类似的特性。
角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系
思考
与
的交换算符,
。
与
是对易的,
与
彼此是相容可观察量,两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理,我们可以同时地测量到
与
的本征值。
类似地,
、
。
与
之间、
与
之间,都分别拥有类似的物理特性。
在经典力学里的对易关系
在经典力学里,角动量算符也遵守类似的对易关系:
;
其中,
是帕松括号,
是列维-奇维塔符号,
、
、
,代表直角坐标
。
本征值与本征函数
采用球坐标。展开角动量算符的方程:
;
其中,
、
、
,分别为径向单位矢量、天顶角单位矢量、与方位角单位矢量。
转换回直角坐标,
。
其中,
、
、
,分别为 x-单位矢量、y-单位矢量、与 z-单位矢量。
所以,
、
、
分别是
、
、
。
角动量平方算符是
;
其中,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\sin ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \cos ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}-\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e10f0dfcdf0c0bf066db45b62f4b0b6042092a0)
、
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{y}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\cos ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \sin ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}+\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2dfbef7e8cf9ed2d9a3e04bf0635fefea82e8ab)
、
。
经过一番繁杂的运算,终于得到想要的方程[2]:169
。
满足算符
的本征函数是球谐函数
:
;
其中,本征值
是正整数。
球谐函数也是满足算符
微分方程的本征函数:
;
其中,本征值
是整数,
。
因为这两个算符的正则对易关系是 0 ,它们可以有共同的本征函数。
球谐函数
表达为
;
其中,
是虚数单位,
是伴随勒让德多项式,用方程定义为
;
而
是
阶勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为:
。
球谐函数满足正交归一性:
。
这样,角动量算符的本征函数,形成一组单范正交基。任意波函数
都可以表达为这单范正交基的线性组合:
;
其中,
。
参阅
参考文献
- ^ Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155
- ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
外部链接
- 圣地牙哥加州大学物理系量子力学视听教学:角动量加法