在数学,特别是向量分析与微分拓扑中,一个闭形式
是微分算子
的核,即
的微分形式;而恰当形式(恰当微分形式)
是微分算子
的像,即存在某个微分形式
使得
,
称为关于
的一个“本原”。
因为
,所以恰当形式一定是闭形式,但闭形式是否为恰当形式并不显然。考虑一个闭形式是不是恰当的,可由不同的条件检测拓扑信息来得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义,因为
将阶数提高 1,不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。
当两个闭形式的差是一个恰当形式时,称它们为相互上同调的。这便是说,如果
与
是闭形式,且存在某个
使得
![{\displaystyle \zeta -\eta =d\beta \ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de6ae9d0982a393ef5b1b0db2a11087ec87ac0c)
则我们说
与
是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素;对这样的类作一般性研究称为上同调理论。
与
上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上,0-形式就是函数,2-形式是函数乘以基本面积元
,故只有 1-形式
![{\displaystyle \alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f76d2d7f5d7e183f54dcaaaf192046ac96b0c8)
具有真正的意义,其外导数
是
![{\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa61265dcd2d43901841e6ebfc1f8dbe581f236b)
这里下标表示偏导数。从而
“闭”的条件是
![{\displaystyle f_{y}=g_{x}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46687fc6931bb70f828590027f7b61e4a61872ad)
当
是一个函数时则
![{\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb27095031b5250dce597fd015bf6be91f3b916)
“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论,这可以直接推广到高维情形。
在
上,恰当 1-形式相当于有势场(保守场),闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。
庞加莱引理
庞加莱引理断言:如果
是
中可缩开子集,对任何整数
,任何定义在
上的光滑闭
-形式
是恰当的(这只在
有内容)。
可缩意味着存在同伦映射
将
形变为一点。从而任何
中的闭链
都是某个“锥”的边缘;我们可以取锥为
在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。
更确切地,我们将
与柱
联系起来,分别通过映射
与
与顶端和底面等价。在微分形式上,诱导拉回映射
与
由上链同伦联系:
![{\displaystyle Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391c8fa0cde2ba7368f9e6c415f6a2eb9e4de6e6)
令
表示
上的
-形式,映射
是柱映射的对偶,定义为:
![{\displaystyle a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd36d3f8eef9eb44a4e5673f62107ebd78d70ea5)
这里
是一个不含
的单项
-形式。所以如果
是
到一点
的同伦形变,那么
![{\displaystyle F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3261280a5123ead09406e5c0885df48985cc441)
在形式上:
![{\displaystyle j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3073daff3e2baadb60fb42cb558e18be76a4782b)
将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。
这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的,大范围的结果就是德拉姆定理。
不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如,在
参数化圆周
上,闭 1-形式
不是恰当的(注意:
不能定义为整个
上的函数,但
是一个良定的闭形式)。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0,但
在圆周上积分是
。
参考文献
- Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7
- 陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7