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亥姆霍兹线圈

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一座装配了亥姆霍兹线圈的物理仪器。
亥姆霍兹线圈示意图。

亥姆霍兹线圈Helmholtz coil)是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。由于亥姆霍兹线圈具有开敞性质,很容易地可以将其它仪器置入或移出,也可以直接做视觉观察,所以,是物理实验常使用的器件。因德国物理学者赫尔曼·冯·亥姆霍兹而命名。

简介

亥姆霍兹线圈是由一对完全相同的圆形导体线圈组成。采用直角坐标系,这两个半径为的圆形线圈的中心轴都与z-轴同轴。两个圆形线圈的z-坐标分别为。每一个导体线圈载有同向电流

设定可以使得在两个线圈中心位置O(即原点)的磁场,其不均匀程度极小化。这动作促使,也意味着领先的非零微分项目是,稍后会对这论点做更详细解释。[1]但是,这样做仍旧会在线圈平面跟z-轴相交处与O点之间遗留大约7%磁场数值的差别。

在某些应用中,亥姆霍兹线圈可以用来抵消地磁场,制造出接近零磁场的区域。[2]

数学描述

在亥姆霍兹线圈的二等分面的磁场线。注意到在两个线圈之间的磁场近似均匀(在这电脑绘图里,线圈的中心轴是纵向的)。
沿着线圈中心轴(z-轴)的磁场。与两个线圈同距离的中心位置的z-坐标为0。
等值线图显示出在亥姆霍兹线圈的磁场的数值大小。在中央的章鱼区域内,磁场数值与中心位置的磁场数值相差不超过1%。五条等值线的磁场数值分别为

关于在空间任意位置的精确磁场计算,需要应用到贝索函数椭圆函数与其相关技巧。沿着线圈的中心轴(z-轴),涉及到的计算比较简单,可以应用泰勒展开,将磁场展开为幂级数。采用直角坐标系,以亥姆霍兹线圈的中心位置为z-轴的原点O。由于对于xy-平面的对称性,奇数幂项目必等于零。经过调整两个线圈之间的距离,可以使得O点成为拐点,则可以保证级项目为零,因此领先不均匀项目是级项目。

在中心位置O点,磁场为

其中,磁常数

推导

采用直角坐标系,设定单匝线圈的中心轴为z-轴,线圈平面与z-轴相交处为原点,则在z-轴的磁场以方程式表示为[3](这方程式可以从必欧-沙伐定律推导出来)

其中,是磁场数值大小,是磁常数,是电流,是线圈半径,是检验位置的z-坐标。

对于匝线圈,磁场为

现在改变系统为亥姆霍兹线圈,其中心位置为原点。原点与线圈平面之间的垂直距离为,注意到每一个亥姆霍兹线圈有一对线圈,所以,总磁场为

进阶推导

更详细地计算,沿着z-轴的磁场为两个线圈的贡献的叠加:[4]

在原点附近的磁场,经过一番运算,可以泰勒展开幂级数

其中,

现在设定,则项目为零,在原点附近的磁场更加均匀:

磁场不均匀率与的关系式为

,线圈平面与z-轴相交处,磁场数值的差别为

参阅

参考文献

  1. ^ 亥姆霍茲線圈內部磁場分析. [2011-07-25]. (原始内容存档于2012-03-24). 
  2. ^ 地磁场磁力仪:亥姆霍兹线圈" Archive.is存档,存档日期2007-06-28 by Richard Wotiz 2004
  3. ^ 乔治亚州州立大学Georgia State University)线上物理网页:Field on Axis of Current Loop. [2011-07-25]. (原始内容存档于2018-10-17). 
  4. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 226–227, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 

外部链接