传递函数矩阵

传递函数矩阵（transfer function matrix）或传递矩阵（transfer matrix）是控制系统以及许多工程领域的名词，是将SISO系统中的传递函数扩展到MIMO系统^[1]。矩阵表示系统输出跟输入之间的关系。在线性非时变系统中是格外有用的工具，因为其传递函数矩阵可以用S平面来表示。

在一些只由被动元件组成的系统中，可以清楚的区分哪些变数是输入，哪些是输出。在电子系统中的作法，将所有电压变数组合成一组，视为是传递函数矩阵的输出，再将电流变数组合成另外一组起来，视为是输入。这样形成的传递函数矩阵中，每个元素都是阻抗。这种阻抗（及阻抗矩阵）的概念也用到其他能量的学科中，特别是力学及声学。

许多控制系统包括不同的能量形式，其传递函数矩阵也会有不同的单位，一方面需要描述其中在各能量形式之间转换的换能器，另一方面也要描述整体的系统。若系统中有适当能量流动的模型，需要选择对应的变数，以方便模型的建立。

一般

有 $m$ 个输出及 $n$ 个输入的MIMO系统，可以用 $m \times n$ 矩阵来表示，其中的每一个元素都是由一个输入转换到一个输出的传递函数。例如针对三个输入，二个输出的系统，可以写成

{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}

其中 $u n$ 是输入， $y m$ 是输出，而 $g mn$ 是传递函数。若写成矩阵运算的形式，可以写成

\mathbf {Y} =\mathbf {G} \mathbf {U}

其中 $Y$ 是输出的向量， $G$ 是传递函数矩阵，而 $U$ 是输入向量。

在许多应用中，要分析的系统是线性时不变（LTI）系统。此时，可以将传递函数矩阵以拉普拉斯变换（连续时间系统的例子）或Z转换（离散时间系统的例子）来表示。因此可以写成

\mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)

其中变数及矩阵都以 $s$ 来表示， $s$ 是由于拉氏转换所产生，S平面的复变频率。此条目中的例子都假设是此情形。在离散时间系统下， $s$ 会被Z转换的 $z$ 所代替，但在分析时没有影响。若矩阵是真分有理矩阵（proper rational matrix），也就是每一个元素都是真分传递函数时，格外有用，可以应用状态空间的概念^[2]。

在系统工程中，系统传递函数矩阵 $G (s)$ 会分为二部分： $H (s)$ 是待测的系统， $C (s)$ 是控制器。 $C (s)$ 的输入是 $G (s)$ 的输入， $C (s)$ 的输出是 $H (s)$ 的输入， $H (s)$ 的输出是 $G (s)$ 的输出^[3]

电子系统

电子系统中的输入变数及输出变数往往不容易区分，可能会因环境及观点而不同。在这种情形下，表达能量流进或流出系统位置的埠（英语：Port (circuit theory)）可能会比输入或是输出更理想。常常会针对一个埠（ $p$ ）定义二个变数：埠的电压（ $V p$ ）及流进的电流。例如，双埠网络可以定义如下：

{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}

其中 $z mn$ 是阻抗参数，或是z参数。如此名称的原因是因为其中每一个元素的单位都是阻抗，而且表示一个埠的电压及另一埠电流之间的关系。z参数不是表达双埠网络唯一的方式。有六种基本的矩阵表示式，每一种都有适用的特定网络拓朴^[4]。不过若是超过二埠的多埠网络，只有二种矩阵表示式可以适合，分别是前面提到的z参数，以及其倒数导纳参数或y参数^[5]

为了说明埠电压和电流。以及输入及输出之间的关系，考虑以下简单的分压电路。若只要用输入电压( $V 1$ 来表示输出电压 $V 2$ ，可以写成下式

{\begin{bmatrix}V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\end{bmatrix}}

可以视为是1×1传递函数矩阵的特例。若埠2没有电流流出，此表示式可以正确预测埠2的电压，但若负载电流增加，预测的电压就会越来越不准。若希望反过来使用这个电路，用电压驱动埠2，计算埠1的电压，就算埠1完全没有负载电流，结果也不正确。其预测的结果会是埠1的输出电压比埠2的输入电压要大，在这种纯电阻电路下是不可能的。为了要正确的预测电路的行为，也需要考虑从埠流过的电流，这也就是传递函数矩阵的目的^[6]，其阻抗矩阵为

{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}

可以在各输入及输出条件下，完全描述其行为^[7]。

在微波频率下，很难使用用电流及电压组成的传递矩阵。电压很难直接量测，电流也不可能。而量测技术中需要的开路及短路也无法实现。若是用波导管实现，电路的电压及电流是没有意义的。因此传递函数矩阵会用其他的变数。例如使用传送进入的功率以及反射的功率，这个用微波频率分布元件电路的传输线模型技术即可求得。这类参数中，最广为人知的是散射参数（英语：scattering parameters），也称为是s参数^[8]。

力学系统及其他系统

电路上阻抗的概念，可以透过力学-电子类比（英语：mechanical-electrical analogy）转换力学阻抗（英语：mechanical impedance）为，应用在力学系统或是其他系统上，因此阻抗参数以及其他双埠网络的参数可以用在其他力学领域中。在此作法中，效果变数（effort variable）视为是电压，而流变数（flow variable）视为是电流。在只考虑平移的力学系统中，效果变数和流变数分别是力及速度^[9]。

用双埠网络表示机械元件的行为有其好处，因为元件可能会反向运作，其效果和负载在输入端或是输出端有关。例如齿轮组常常会用其齿轮比表示，是SISO转换函数。但齿轮组输出轴（英语：shaft (mechanical engineering)）又用来驱动输入轴，就需要MIMO分析。在此例中，效果变数是力矩 $T$ ，而流变数（flow variable）是角速度 $ω$ 。其z参数的传递函数矩阵为

{\begin{bmatrix}T_{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}

不过，z参数可能不太适合描述齿轮组。齿轮组是变压器的类比，而h参数适合描述变压器，因为其中直接用到匝数比（类似齿轮组的齿轮比）^[10]，其h参数的传递函数矩阵是

{\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}

其中

h 21

是输出无负载时的速度比

h 12

是输入轴卡住时，反向的力轴比，等于理想齿轮的前馈速度比

h 11

是输出轴没有负载时，的输入旋转力学阻抗

h 22

是输入轴卡住时，输出轴的旋转力学导纳。

若是没有摩擦力的理想齿轮，可以简化成下式

{\begin{bmatrix}T_{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&N\\N&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\T_{2}\end{bmatrix}}

其中 $N$ 是齿轮比 ^[11]

换流器及致动器

有些系统中利用了不同形式的能量（例如电能、机械能），并且在这些能量之间进行转换。传递函数矩阵需要能透过埠来处理这些不同能量领域中的成分。在机器人学及机械电子学中，会用到执行器。一般会包括一个换能器，将电子领域中的控制系统信号转换为力学领域中的运动。控制系统也需要传感器侦测运动，并且转换为电子领域的信号，才能透过回授系统控制其运动。其他系统中的感测器可能是将其他领域中（例如光学、声音、热、流体流动或化学）的信号转换为电子信号，例如机械滤波器会需要换流器，将电子讯号转换为机械的讯号，再将机械的讯号转换为电子的讯号。

在电动机械学中，致动器一般会由电子的控制器来驱动，需要换流器的输入是电子领域，其输出为力学领域。可以简单的用SISO转移函数来处理，不过可能无法考虑到负载电流的影响。因此比较精准的表示法会用二输入，二输出的MIMO传递函数矩阵，型式如下：

{\begin{bmatrix}V\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I\\v\end{bmatrix}}

其中 $F$ 是致动器的施力， $v$ 是致动器的速度。矩阵的元素会有不同的单位； $z 11$ 是电子的阻抗， $z 22$ 是机械的阻抗，另外二个阻抗是跨导，有不同的单位^[12]

声学系统

声学系统是流体动力学中的子领域，两者关注的输入及输出变数是压强 $P$ ，以及体积流率 $Q$ （若是探讨声音在固体中的传播，可能就要考虑力学系统中的变数，力及速度）。像在排气系统中的消音器，就可以用声学系统中的二埠系统来表示。其转换矩阵表示如下：

{\begin{bmatrix}P_{2}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\Q_{1}\end{bmatrix}}

此处的 $T mn$ 是传输参数（transmission parameters），称为ABCD参数。也可以用z参数来表示此系统，不过传输参数在数学的计算有其方便之处，若一个网络的输出连接另一个网络的输入时，只要利用矩阵乘法就可以得到新的转换矩阵^[13]。

不同的变数转换方式

若系统中包括了不同的能量系统，在考虑不同系统的类比时需要格外留意。选择的方式会和分析希望得到的结果有关。若希望正确的为整个系统中的能量流来建模，则系统中的二个变数相乘后需要是功率（功率共轭变数），这两个变数需要可以映射到另一个系统的功率共轭变数。一系统中的功率共轭变数不唯一，因此需要在整个系统中用类似的映射方式^[14]。

一种常见映射方式（此条目例子中所用的方式）是将各能量系统中的效果变数（会产生动作的变数）互相映射，再将各能量系统中的流变数（表示实际动作的变数）。每一对效果变数及流变数都是功率共轭变数，此系统称为阻抗类比（英语：impedance analogy），因此效果变数和流变数的比例类似电子电路中的阻抗^[15]。

除了阻抗类比外，还有另外两种功率共轭变数的类比方式。流动类比（英语：mobility analogy）将机械系统中的力类似为电路中的电流（若是阻抗类比，会类比为电压）。此一类比方式常用在机械滤波器的设计中，也常用在音响电子学中。此映射的好处是维持各系统的网络拓朴，但无法将阻抗类比。Trent类比将功率共轭变数分为across变数及through变数，依其作用是会在元件两端作用，还是会穿过元件作用而定。Trent类比大部分的结果都和流动类比相同，但流体力学（及声学）领域不同。Trent类比会将流体力学中的压强类比为电压（类似阻抗类比的作法），而机械系统中的力，因为会“穿过”元件作用，仍会类比为电流^[9]。

有些类比不会用功率共轭变数。例如在感测器中，正确的类比能量不是主要目的（感测器的能量多半很小）。选择方便量测的变数（可能就是感测器要量测的物理量）可能更重要。例如在热阻类比中，热阻会类比为电阻，因此温度差和热能就变成电压及电流。而温度差的功率共轭不是热能，而是熵流率，是无法直接量测的物理量。在磁系统中有类似的情形，磁阻会类比为电阻，因此磁通量会类比为电流，而不是将单位时间磁通量类比为电流^[16]。

历史

线性代数方程的矩阵表示式已使用一段时间。儒勒·昂利·庞加莱在1907年首次用二个和电机变数（电压和电流）有关方程来表示机械变数（力和速度）。Wegel在1921年首次用类似电机阻抗的方式来说明力学阻抗^[12]。

第一个用传递函数矩阵来表示MIMO控制系统，是在1950年代由Boksenbom及Hood所提出，但只在他们在为美国国家航空咨询委员会研究燃气涡轮发动机时所提出。^[17]。Cruickshank在1955年提出较严谨的基础，但还没有完整的通用性。1956年的Kavanagh是第一个完整处理通用性的人，建立了系统和控制的矩阵关系，也提供控制系统可行性的判断准则，可以让受控系统有符合预期的行为^[18]。

参考资料

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- Chen, pp. 1037–1038
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文献

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Chen, Wai Kai, The Electrical Engineering Handbook, Academic Press, 2004 ISBN 0080477488.
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[1] Chen, p. 1038

[2] Levine, p. 481
Chen, pp. 1037–1038

[3] Chen, pp. 1037–1038

[3] Kavanagh, p. 350

[4] Chen, pp. 54–55
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Bakshi & Bakshi, p. 420

[6] Iyer, p. 240

[7] Bakshi & Bakshi, p. 420

[5] Choma, p. 197

[6] Yang & Lee, pp. 37–38

[7] Bessai, pp. 4–5

[8] Nguyen, p. 271
Bessai, p. 1

[12] Bessai, p. 1

[#1-9] 9.0 ^9.1 Busch-Vishniac, pp. 19–20

[10] Olsen, pp. 239–240

[11] Busch-Vishniac, p. 20
Koenig & Blackwell, p. 170

[16] Koenig & Blackwell, p. 170

[#2-12] 12.0 ^12.1 Pierce, p. 200

[13] Munjal, p. 81

[14] Busch-Vishniac, p. 18

[15] Busch-Vishniac, p. 20

[16] Busch-Vishniac, pp. 18, 20

[17] Kavanagh, p. 350
Bokenham & Hood, p. 581

[23] Bokenham & Hood, p. 581

[18] Kavanagh, pp. 349–350

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一般