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区间

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在图中的数轴上,所有大于x和小于x+a的数组成了一个开区间。

区间(英语:interval)在数学上是指某个范围的数的集合,或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合,一般以集合形式表示。

简说

初等代数,传统上区间指一个,包含在某两个特定实数之间的所有实数,亦可能包含该两个实数(或其中之一)。区间表示法是表示一个变数在某个区间内的方式。通用的区间表示法中,圆括号表示排除,方括号表示包括。例如,开区间表示所有在之间的实数,但不包括。另一方面,闭区间表示所有在之间的实数,以及[1]

定义

实区间

在赋予通常序的实数集里,以为端点的开区间闭区间分别是:

类似地,以为端点的两个半开区间定义为:

在一些上下文中,两个端点要求满足。这排除了从而区间或是单元素集合或是空集的情形,也排除了从而区间为空集的情形。

只有左端点开区间半开区间分别如下。

只有右端点开区间半开区间分别如下。

整个实数线等于没有端点的区间:

偏序集或预序集中的区间

区间的概念在任何偏序集或者更一般地,在任何预序集中有定义。对于预序集和两个元素,我们可以类似定义[2]:11, Definition 11

其中意思是。其实,只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

上具有两个端点的区间,使得它是的子集。当时,可以取扩展实数线

序凸集和序凸分支

预序集的子集序凸集,如果对于任意以及任意。与实区间的情形不同,预序集的序凸集不一定是区间。例如,在有理数全序集中,

是序凸集,但它不是的区间,这是因为2的平方根在中是不存在的。

是一个预序集,且。包含在中的的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做序凸分支[3]:Definition 5.1佐恩引理,包含在中的的任意序凸集包含于的一个序凸分支,然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中,这样的序凸分支确实唯一。也就是说,全序集的子集的序凸分支构成分划

区间算术

区间算术又称区间数学、区间分析、区间计算,在1950、60年代引进以作数值分析上计算舍去误差的工具。

属于的某些,及属于的某些,使得

区间算术的基本运算是,对于实数线上的子集

被一个包含零的区间除,在基础区间算术上无定义。

加法和乘法符合交换律结合律和子分配律:集的子集。

另一种写法

法国及其他一些欧洲国家,用代替来表示开区间,例如:

国际标准化组织编制的ISO 31-11也允许这种写法[4]

另外,在小数点以逗号来表示的情况下,为免产生混淆,分隔两数的逗号要用分号来代替,例如将写成。若只把小数点写成逗号,就会变成,此时不易判断究竟是之间,还是之间的闭区间。

参考

  1. ^ Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. (原始内容存档于2014-12-26). 
  2. ^ Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14. Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001. doi:10.1007/978-3-540-24757-9 (英语). 
  3. ^ Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178: 481–493. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009. doi:10.2307/1996713 (英语). 
  4. ^ ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. (原始内容存档于2021-05-18) (英语).