多分辨率分析(multiresolution analysis, MRA)或是多尺度近似(multiscale approximation, MSA)是最常用来分析离散小波变换〈DWT〉或是验证快速小波转换〈FWT〉理论的方法。本分析方法在1989年[1]及1998年[2]由Stephane Mallat 著作的论文提到。
定义
Lp空间
的多分辨率分析由一系列嵌套子空间组成
![{\displaystyle \{0\}\dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2772c4ce3b03b540cbabf7784c961cefdd59100)
- 取样定理
- 取样定理主要是在重建一个时间长度
中被取样过的信号:若信号是有限带宽,只要奈奎斯特频率(Nyquist frequency)比
小及可完整重建信号;否则得到的重建信号为近似的信号。因此可以说,愈小的
使得信号的重建愈容易,
的大小将决定信号分辨率,同时,采样率也受到
的限制。
- 概念
- 倘若一个信号具有变化速度差异大的区段,像是信号快速变化的区段穿插著变化平缓的区段,则上述单一分辨率将不适用于分析信号。因此,多重分辨率分析的概念因此而生。将信号在不同分辨率上分析。
- 定义
- 令
为在函数空间
里的子空间的数列,假如
- 分簇性(nested):
![{\displaystyle \dots \subset V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}\subset V_{n+1}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f76005d6d9acdd9de9f7764dcdc0e1cb43f6398)
- 稠密性(density):
![{\displaystyle \operatorname {Closure} \left(\bigcup _{i=-\infty }^{\infty }V_{i}\right)={\overline {\dots \cup V_{-1}\cup V_{0}\cup V_{1}\cup \dots }}=L^{2}(R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165fa7d7191cac4fc62817faa66d33b527044374)
- 分离性(seperation):
![{\displaystyle \bigcap _{i=-\infty }^{\infty }V_{i}=\dots \cap V_{-1}\cap V_{0}\cap V_{1}\cap \dots =\left\{0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0389904694d189764004830742548ae2e7fc7f11)
- 调节性(scaling):
![{\displaystyle f(2^{-j}x)\in V_{0}\leftrightarrow f(x)\in V_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d7259013dce0bd993d0114b1c38ba3b75920ea)
- 正规正交基底(orthonormal basis):
且集合
为
的一正规正交基底。
- 则
为带有调整函数
的多分辨率分析。
- 应用
- 在高频的时候,使用较细致的时间分辨率及较粗糙的频率分辨率。
- 在低频的时候,使用较细致的频率分辨率及较粗糙得时间分辨率。
- 相当适合使用在长时间都是低频成分,只有在短时间内会有高频成分的信号
参考文献
- ^ Mallat, S., "A Theory for Multi-resolution Approximation: the Wavelet Approximation," IEEE Trans. PAMI 11 (1989), 674-693.
- ^ Mallat, S., "A Wavelet Tour of Signal Processing," Academic Press, San Diego, 1998.
- Albert Boggess, Francis J. Narcowich, "A First Course in Wavelets with Fourier Analysis"