群论中,字度量是在群上的一种度量,就是一个方法去量度群中两个元素之间的距离。给出群
的生成集
,每个元素都可以用
写成很多个不同的字。例如设
是所有整数组成的群
,取
,3就可以写成1+1+1,或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每个字用了多少个
的元素,这就是字的长度,例如1+1+1的长度是3,-1+1+1-1+1+1+1的长度是7。可以用英文字来比喻:英文字的生成集是英文字母,字的长度就是字母的数目,如colour的长度是6,color的长度是5。
两个元素
的字度量
定义为
以
表示成的最短的字的长度。
两个元素的字度量,等于凯莱图
中这两个元素的距离。[1]
例子
考虑整数群
。若取生成集合
,那么两个整数
之间的字度量是
。
若取另一个生成集合
,则
和
之间的字度量
,因为
用
所能表示成的最短的字(3-2或-2+3)的长度为2。
性质
从字度量的定义可以看出,群于自身的左乘作用
下,字度量不变:
![{\displaystyle d_{S}(g,h)=d_{S}(kg,kh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7608cd328f7ec29a0cf8d1f7cc16283cafc8395e)
(因为
。)
一个群
给出不同的生成集合,对应的字度量可以不同。不过,如果
是有限生成的,则两个有限的生成集合
所给出的字度量是双利普希茨的,即存在常数
使得对任何
都有
![{\displaystyle {\frac {1}{C}}d_{S_{1}}(g,h)\leq d_{S_{2}}(g,h)\leq Cd_{S_{1}}(g,h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e42d02012ad4704d7c63d9932f11faa26e2440)
证明如下:
中的各元素用
表示成的字,其中最长的长度设为
。那么每个用
表示成的字,都可用
改写成不超过
倍的长度的字。故此
![{\displaystyle d_{S_{2}}(g,h)\leq C_{1}d_{S_{1}}(g,h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5861c01917133554e5f78ba86487801ef8a110)
同样地,有
![{\displaystyle d_{S_{1}}(g,h)\leq C_{2}d_{S_{2}}(g,h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb54576f25fcd91b7ad96cd39596d58f8988c106)
取
为
和
的较大者,得出不等式。
参考
- ^ É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.