局部紧
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拓扑学及数学的相近分支中,局部紧拓扑空间的每小块,单独看来,都很类似紧空间的一小块。准确而言,其每点周围都有一个紧邻域。
数学分析尤其关注豪斯多夫的局部紧空间,常以“局部紧豪斯多夫”(英语:Locally Compact Hausdorff)的首字母简称为LCH空间。[1]:131
严格定义
设为拓扑空间。通常称局部紧的意思是,的每点,都有紧邻域,即开集和紧集,令。
也有其他常见定义。下列定义在豪斯多夫(预正则空间亦然)时皆等价,但一般则不一定:
- 1. 的每点皆有紧邻域;
- 2. 的每点皆有闭的紧邻域;
- 2′. 的每点皆有相对紧邻域;
- 2″. 的每点皆有相对紧邻域组成的局部基;
- 3. 的每点皆有紧邻域组成的局部基;
- 3′. 对的每点,的每个邻域都包含其一个紧邻域;
- 4. 为豪斯多夫,且满足前述以上全部条件。
上述条件中的逻辑关系有:
- 条件2、2′、2″等价;
- 条件3、3′等价;
- 条件2、3互不推出对方;
- 全部皆推出条件1;
- 紧空间必定满足条件1、2,条件3则不必。
条件1或较常用作定义,因为最易满足,且当豪斯多夫时,全部条件皆与条件1等价。要证明等价,用到两个性质:其一,豪斯多夫空间的紧子集必为闭;其二,紧空间的闭子集必为紧。
由于条件2′、2″用相对紧集定义,满足该条件的空间可以更明确称为局部相对紧,而与局部紧空间区分。[2][3]斯蒂恩(Steen)及泽巴赫(Seebach)[4]:20称条件2、2′、2″为强局部紧,而称条件1为局部紧。
采用条件4的例子有布尔巴基[5]。应用中,局部紧空间通常的确豪斯多夫,从而无需区分上述定义。本条目主要讨论此种局部紧豪斯多夫(LCH)空间。
例子与反例
紧豪斯多夫空间
紧豪斯多夫空间必然局部紧,此种例子见于条目紧空间,略举三例如下:
局部紧但不紧的豪斯多夫空间
- 欧氏空间(特例有数轴)为局部紧(海涅-博雷尔定理的推论)。
- 拓扑流形的局部性质与欧氏空间一样,故亦为局部紧,甚至长直线之类的非仿紧的流形亦然。
- 离散空间皆局部紧及豪斯多夫(其为零维流形)。仅当离散空间为有限集时,该空间为紧。
- 任意局部紧豪斯多夫空间的开或闭子集,在子空间拓扑的意义下,皆为局部紧。由此有欧氏空间局部紧子集的若干例子,如单位圆盘(不论开或闭)。
- p进数空间为局部紧,因为同胚于康托尔集删去一点。因此,局部紧空间不只在古典数学分析中有用,在P进数分析亦然。
非局部紧的豪斯多夫空间
若豪斯多夫空间为局部紧,则必为吉洪诺夫空间,详见下节。条目吉洪诺夫空间中,可以找到若干例子,是豪斯多夫空间但非吉洪诺夫,故必不局部紧。
此外,也有吉洪诺夫空间非局部紧,例如:
- 有理数空间(配备的子空间拓扑),因为每个邻域都有柯西序列收敛到无理数,而不在中,从而不是紧邻域。
- 的子空间,因为原点并无紧邻域。
- 实数集的下限拓扑(上限拓扑亦同),适用于研究单边极限。
- 任何无穷维拓扑向量空间,但要柯尔莫果洛夫(T0,从而豪斯多夫),例如无穷维的希尔伯特空间。
首两个例子说明,局部紧空间的子集不必局部紧,与前节开(或闭)子集的情况相对。末一个例子,则与前节欧氏空间的情况相对;具体言之,豪斯多夫拓扑向量空间为局部紧,当且仅当其为有限维(等同欧氏空间)。此例亦与希尔伯特立方作为紧空间的情况相对,但并无矛盾,因为希尔伯特立方不能是希尔伯特空间某点的邻域。
非豪斯多夫的局部紧空间
- 有理数空间的单点紧化是紧空间,从而在意义1及2下是局部紧,但在意义3下则不然。
- 任何无穷集上的特定点拓扑在意义1及3下是局部紧,但在意义2下则不然,因为任何邻域的闭包皆是整个空间,故不为紧集。实轴上的上拓扑也同样。
- 所以,若取前两项例子的不交并,则在意义1下局部紧,但在意义2及3下不然。
- 谢尔宾斯基空间在意义1、2、3下皆局部紧,且是紧空间,但不是豪斯多夫空间(甚至并不预正则),故不是意义4下的局部紧空间。可数多个谢尔宾斯基空间的不交并(同胚于亚尔马·埃克达尔拓扑(Hjalmar Ekdal topology)[6])非紧,但仍是意义1、2、3下的局部紧空间,而不是意义4下的局部紧空间。
性质
局部紧的预正则空间必为吉洪诺夫空间(完全正则)。由此推论,局部紧的豪斯多夫空间亦为吉洪诺夫空间。由于“正则”比“预正则”(通常稍弱)或“完全正则”(通常稍强)更常用,文献一般称此类空间为局部紧正则空间。同理,局部紧的吉洪诺夫空间一般称局部紧豪斯多夫空间。
局部紧豪斯多夫空间必为贝尔空间。换言之,贝尔纲定理适用于此类空间:取任意可数多个无处稠密集,其并集的内部必为空集。
局部紧豪斯多夫空间的拓扑子空间也是局部紧,当且仅当是某两个闭子集之差。由此推论,局部紧豪斯多夫空间的子空间为局部紧当且仅当是开子集。若将放宽成任意豪斯多夫空间,则由子空间局部紧,仍能推出为某两个闭子集之差,反之则不然。
局部紧空间的商空间必为紧生成。反之,紧生成空间必为某个局部紧豪斯多夫空间的商。
无穷远点
设为局部紧豪斯多夫空间,则作为吉洪诺夫空间,固然能藉斯通-切赫紧化,嵌入到紧豪斯多夫空间,但有了局部紧的特殊性质,则有更简单的方法嵌入到紧豪斯多夫空间,称为单点紧化。新空间仅比多一点。(单点紧化适用于其他空间,但所得的为豪斯多夫,当且仅当本身是局部紧且豪斯多夫。)所以,局部紧豪斯多夫空间也可以刻划成紧豪斯多夫空间的开子集。
多出的一点可直观视为无穷远点,此点不在的任何紧子集中。因此,所谓趋向无穷之事,有一些可借此以局部紧豪斯多夫空间阐明。 举例,定义在上的连续实值或复值函数称为消失于无穷远,是指给定任意正实数,皆有紧子集,使对外的一切点成立。前述定义适用于任意拓扑空间,而在为局部紧豪斯多夫的特例,等价于能延拓成单点紧化上的连续函数,使。
消失于无穷远的连续复值函数之集合是C*代数。反之,可交换的C*代数必同构于某个局部紧豪斯多夫空间的,其中在同胚意义下唯一。以范畴言之,局部紧空间范畴与交换C*代数范畴对偶,其证法用到盖尔范德表示[7]。前一范畴中,加入无穷远点,变成之事,在后一范畴对应向添加单位元。
局部紧群
拓扑群论中,局部紧是重要概念,因为每个豪斯多夫局部紧群都自然配备哈尔测度,因而在上定义可测函数的积分。实数轴的勒贝格测度为其特例。
拓扑交换群的庞特里亚金对偶为局部紧,当且仅当是局部紧。又以范畴言之,庞特里亚金对偶是局部紧交换群范畴的自对偶。研究局部紧交换群,为调和分析奠下基础。此领域现也研究非交换的局部紧群。
参见
参考文献
- ^ Folland, Gerald B. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications [实分析:现代技巧及应用] 2nd. John Wiley & Sons. 1999 [2021-08-21]. ISBN 978-0-471-31716-6. (原始内容存档于2021-05-07) (英语).
- ^ Lowen-Colebunders, Eva. On the convergence of closed and compact sets [论闭集及紧集的收敛] (英语).
- ^ Bice, Tristan; Kubiś, Wiesław. Wallman Duality for Semilattice Subbases [半格准基的沃尔曼对偶]. 2020. arXiv:2002.05943
[math.GN].
- ^ Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. Counterexamples in Topology [拓扑学的反例] Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1995 [1978]. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
- ^ Bourbaki, Nicolas. General Topology, Part I [一般拓扑学,第一部] reprint of the 1966. Berlin: Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-19374-X.
- ^ Hjalmar Ekdal Topology [亚尔马·埃克达尔拓扑]. π-base. [2021-08-21]. (原始内容存档于2021-08-21) (英语).
- ^ nLab的盖尔范德表示条目
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