嵌入 (数学)

数学上，嵌入是指一个数学结构经映射包含到另一个结构中。某个物件X称为嵌入到另一个物件Y中，是指有一个保持结构的单射f: X→Y，这个映射f就给出了一个嵌入。上述“保持结构”的准确意思，需由所讨论的结构而定。一个保持结构的映射，在范畴论中称为态射。

要表达f: X→Y是一个嵌入，有时会使用带钩箭号 $f\colon X\hookrightarrow Y$ 。但这个带钩箭号有时只留作表示包含映射时用。

拓扑与几何

点集拓扑

拓扑学上，一个嵌入是一个单射，使得拓扑空间到其像上为同胚。换言之，两个拓扑空间X, Y之间的一个连续单射f: X→Y是一个拓扑嵌入，如果f给出X与f(X)间的同胚（空间f(X)上的拓扑是由Y诱导的子空间拓扑。）凡是连续单射的开映射或闭映射都是拓扑嵌入，不过一个嵌入也可能既非开映射也非闭映射：当其像f(X)不是Y中的开集或闭集时，便发生这种情况。

微分拓扑

在微分拓扑中，令M, N为光滑流形，而f: M→N为光滑映射。则如果f的微分处处皆为单射，则称f为一个浸入。此时的嵌入定义为一个符合拓扑嵌入定义的单射浸入，又称为光滑嵌入。换言之，嵌入是微分同胚于其像，所以嵌入的像必是子流形。浸入是一个局部嵌入，即在每点 $x\in M$ ，都有邻域 $U\ni x$ ，使得限制到这邻域上的 $f|_{U}\colon U\to N$ 是嵌入。如果M是紧致流形，则M的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一个重要情形是在N为 $\mathbb {R} ^{n}$ 时。这情形引起兴趣之处，在于对任何m维流形M，n需多大才保证有从M到 $\mathbb {R} ^{n}$ 的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理指n = 2m便足够，而且是最好的上界。例如嵌入一个m维的实射影平面便需要n = 2m。

如果将光滑嵌入的定义中，f为光滑映射的条件放宽为C^k映射，其中k是正整数，而其余条件不变，则f称为C^k嵌入。

黎曼几何

在黎曼几何中，设(M,g), (N,h)是黎曼流形，一个等距嵌入是一个光滑嵌入f: M→N，令黎曼度量保持不变，即将h由f拉回等于g，就是 $g=f^{*}(h)$ 。更明确言之，对M中任何一点x，及任何两个切向量

v,w\in T_{x}(M)

都有

g(v,w)=h(df(v),df(w)).

度量空间

设X, Y为度量空间，映射 $f\colon X\to Y$ 是一个拓扑嵌入。如果f和 $f^{-1}$ （定义在f(X)上）都是利普希茨连续，则称f为双利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。换言之，如果存在常数 $L\geq 1$ ，使得

{\frac {1}{L}}\ d_{X}(x,y)\leq d_{Y}(f(x),f(y))\leq L\ d_{X}(x,y)

，

则称f为(L-)双利普希茨嵌入。

一个更广义的嵌入是拟对称嵌入(quasisymmetric embedding)。如前设f为拓扑嵌入。f称为(η-)拟对称嵌入，如果存在同胚 $\eta \colon [0,\infty )\to [0,\infty )$ （即η(0)=0且η为严格递增的连续函数），使得X中任何三点x, a, b若满足

d_{X}(x,a)\leq t\ d_{X}(x,b)

，

其中t > 0，则有

d_{Y}(f(x),f(a))\leq \eta (t)\ d_{Y}(f(x),f(b)).

若f是一个L-双利普希茨嵌入，可令 $\eta (t)=L^{2}t$ ，则f是η-拟对称嵌入。

双利普希茨嵌入的一个相关概念是拟等距嵌入。拟等距嵌入虽名为嵌入，却不一定是嵌入，因其未必是单射。

代数

域论

域论上，从一个域E到另一个域F中的一个嵌入，是一个环同态σ: E → F。因为环同态的核是一个理想，而域的理想只有0及整个域本身，又σ(1)=1，故其核不能为整个域，即知核为0。因此这个环同态必定是单态射，而E和在F中的σ(E)同构。所以可称两个域之间的任何同态为嵌入。

序理论

关于序理论中的嵌入，可参见序嵌入。

参考

Sharpe, R.W., Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9 .
Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3 .
Heinonen, Juha, Lecture on Analysis on Metric Spaces, Springer-Verlag, New York, 2001, ISBN 0-387-95104-0 .